本文為“第三屆數學文化征文比賽

《走近楊輝 揭秘三角》教學設計

作者: 何萍

作品編号：057

一、教學目标

1.知識與技能：

（1)掌握并能靈活應用多項式乘以多項式的運算法則。

（2)理解楊輝三角的數字規律，了解楊輝三角的曆史和文化背景。

2.過程與方法：

通過課前的閱讀、計算和網絡學習，培養學生的自學能力，完成預習學案。在探究規律過程中培養合作意識，在獨立思考的過程中發展創造思維能力。教學過程培養學生從特殊到一般的數學歸納、猜想能力，滲透類比思想和數形結合的思想。

3.情感、态度與價值觀

培養學生發現問題、解決問題的能力，探究知識、建構知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。激發學生的學習興趣，培養學生的民族自豪感，樹立學習數學的信心。感受數學魅力的同時，展示數學文化的價值體現。

二、教材分析

本課的主要内容是發現楊輝三角的基本規律，楊輝三角的數字規律主要包括橫行、豎行、斜行各數之間的大小關系。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師作為組織者，提供必要指導，同時更為重要的是充分體現學生的主體性地位。

學生了解楊輝三角的規律後，介紹楊輝三角的來源，通過楊輝三角曆史背景的描述，使得學生更了解數學文化。借助楊輝三角在現實生活中的應用和中高考試題，讓學生能夠學以緻用。

三、教學重、難點

教學重點：楊輝三角規律的發現和理解以及了解楊輝三角的曆史文化。

教學難點：楊輝三角規律的理解和應用。

四、教學方法

采取以學生為主體，教師為主導的探究式教學方法。學生觀察規律時，采取讨論交流式的方法，激發學生主動尋找規律的欲望。楊輝三角的曆史文化介紹推廣環節，借助微課形式，在《高山流水》的背景音樂聲中，楊輝三角的起源、發展和影響力的叙述娓娓道來，吸引學生感受數學的魅力和趣味性。楊輝三角的應用環節，培養學生的動手操作能力，充分體現學生的主體性地位。

五、教學過程

（一）溫故知新

1.多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。（文字語言）

符号語言：(a b)(m n)=am an bm bn

2.完全平方公式：

【設計意圖】複習多項式乘以多項式運算法則的基礎上，引導學生計算(a b)的高次幂，為提取展開式系數做好鋪墊。

（二）新知探究

活動一：利用多項式乘以多項式法則，按照a的降幂排列，寫出、、、（a b≠0）的展開式。

将展開式系數填入下表1。

表一

【設計意圖】利用多項式乘以多項式法則，按照a的降幂排列，寫出、、、（a b≠0）的展開式，并将展開式系數填入表格中。通過引入探究操作的過程，引導學生明白這個系數表的來源。

将上表1變換隊形，填入下表2。

表二

如表2，三角形系數表就稱為楊輝三角。

【設計意圖】将(a b)ⁿ展開式系數變換隊形後，正好形成三角形系數表，從“形”的角度，揭示楊輝三角的第一層面紗。

活動二：同學們，能否繼續寫出、、、...、的展開式系數？

【設計意圖】類比以往解決含n的題型，引導學生産生探究楊輝三角規律的欲望。

規律之美1：楊輝三角中兩條斜邊都是由數字1組成，每一個數均為肩上兩數之和。

【設計意圖】引導學生觀察楊輝三角形數表，直觀感受數字的規律，引導學生找出數字之間的關系。

規律之美2：與首末兩端“等距離”的兩個數相等，楊輝三角具有對稱性。

【設計意圖】引導學生從“形”的角度，觀察楊輝三角形數表，發現由數字構成的圖形是等腰三角形，而等腰三角形是最為典型的軸對稱圖形，從而展示了楊輝三角的對稱之美。

規律之美3：楊輝三角第n行中n個數之和等于2的n-1次幂。

【設計意圖】從“數”“形”兩個角度分析楊輝三角數表後，引導學生從整體的眼光看待楊輝三角數表，即“橫向”計算楊輝三角數表的和，尋找規律。同時，為後續從“斜向”觀察楊輝三角的規律埋下伏筆。

規律之美4：從楊輝三角中一個确定的數的“左（右）肩”出發，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數的和等于這個數。

規律之美5：斜看楊輝三角中各數的和，從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和，這是著名的斐波那契數列，即為兔子數列。

【設計意圖】斐波那契數列是數學文化史中趣味性很強的代表性範例，值得推廣學習，從而引出斐波那契發現兔子數列的規律。

中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以後每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年内可以繁殖成多少對兔子？（如圖1）

圖1

兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

【設計意圖】通過講解斐波那契數列的來源，引導學生意識到數學來源于生活應用于數學的價值體現。同時，介紹數學家斐波那契熱愛生活，善于觀察生活，并将生活中的現象記錄下來留下寶貴的精神财富，引導學生樹立研究性學習的觀念，滲透數學建模的思想。

（三）時光列車

通過微課的形式講述楊輝三角的起源、發展，走進楊輝三角，了解它背後的故事。

首先介紹古代數學家賈憲，中國十一世紀上半葉（北宋）的傑出數學家。曾撰《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、曆算，著有《黃帝九章算法細草》、《釋鎖算書》等書。賈憲的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。

然後介紹本課的主角——古代數學家楊輝，出生于南宋時期，1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖（如圖2），并說明此表引自11世紀中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”。楊輝在所著《詳解九章算法》、《開方作法本源》一章中作賈憲開方作法圖，并說明“出釋鎖算書，賈憲用此術”。

圖2

法國著名數學家、物理學家和哲學家帕斯卡，在13歲時（1654年）發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。帕斯卡在1665年出版《論算術三角形》，談到“算術三角形”的構造和性質，并最早用數學歸納法證明了性質。

意大利數學家塔爾塔利亞的發現比帕斯卡要早100多年，比賈憲晚約500年。

【設計意圖】描述賈憲、楊輝成就的同時，詳細介紹楊輝三角的來龍去脈，并告知今日認知的楊輝三角實際上是賈憲最早發現這一神秘的數學知識，一場美麗的誤會充滿了數學文化的趣味性，激發學生的學習興趣。同時類比引出西方國家有關楊輝三角的史實，充分展現了中國古代數學家的輝煌成就，激發學生的民族自豪感，樹立學好數學知識的信念。

最後引用學生熟知的現代數學家華羅庚的名言作為結束語：“數學是我國人民擅長的學科。我們祖國偉大人民在人類史上有過無比睿智的成績。”

（四）古為今用

“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題。下圖3是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (隻能由北到南，由西向東)，那麼有多少種不同的走法？

【設計意圖】通過生活中趣味性的問題，引發學生思考、動手操作實踐，集思廣益，學生通過直接觀察的方式得出結論。

教師思路：如圖3把圖順時針轉45度變為圖4，使A在正上方，B在正下方，然後在交叉點标上相應的楊輝三角數．B處的楊輝三角數與A到B的走法有什麼關系？

結論：B處所對應的數6，正好是答案 6．

猜想：每個交點上的楊輝三角數，就是從A到達該點的方法數．

【設計意圖】将生活實際中的路線問題，借助楊輝三角知識解題，自然過渡到本課所學新知，體現楊輝三角的應用價值。

變式：“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題。下圖5是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (隻能由北到南，由西向東)，那麼有多少種不同的走法？

【設計意圖】變式題同樣的方法，轉化為圖6，借助楊輝三角圖7。借助學生常外出旅遊的經曆，激發學生對本問題的興趣，開動腦筋思考答案，動手操作得出結論。教師引導，揭示楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯系，從而揭秘楊輝三角在生活中無處不在的價值體現。

（五）提升思考

（2006年中考日照市卷第17題）德國數學家萊布尼茨發現了下面的單位分數三角形（單位分數是分子為1，分母為正整數的分數）：

根據前5行的規律，可以知道第6行的數依次是： ．

【設計意圖】借助本題引導學生認識楊輝三角在考試中可能出現的形式，同時引導學生掌握類比的思想和轉化的方法。幫助學生先觀察題中的單位分數三角形，逐步引導尋找單位分數三角形與楊輝三角的不同之處，層層遞進，深入剖析，找出規律，借助楊輝三角的知識解決本題。

（六）課堂總結

通過楊輝三角故事的品讀，感受到楊輝三角内在的奧秘，體會到數學文化的趣味性，欣賞數學文化的美妙之處，并深深被數學文化的魅力所折服。

（七）作業設計

1.查閱《楊輝三角》相關資料。

2.複習鞏固《楊輝三角》的規律。

（八）闆書設計

相關鍊接>>

相聚于網絡，相知因數學，相交為征文——第三屆數學文化征文活動通知

第三屆數學文化征文比賽評委簡介

第二屆數學文化征文比賽通知

第一屆數學文化征文活動文章集錦

已發文章>>

001 萊布尼茨、二進制和伏羲卦圖

002 美學視角下的數學教學 —— 讀《數學的美與理》有感

003 數學基礎與黎曼猜想 ——《數學簡史：确定性的消失》讀後思考

004 數學與文化并重 知識與興趣同行 ——“算籌記數”教學思考

005 數學是多維度的藝術——讀《數學家的眼光》有感

006 從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率

007 中學數學中分類思想的教學與拓展

008 守門的秘密

009 探數學文化，啟數學之美——以高中數學《割圓術》為例

010 基于數學史視角的高中數學教學思考

011 我是怎樣讀《幾何原本》的

012 相映成趣的兩座數學橋

013 HPM視角下的數學概念教學——“平面直角坐标系”教學設計

014 極限定義新講：動态定義與靜态定義

015 把握思想方法，自主提升數學素養 ——讀《讓知識自然生長》有感

016 讀北大張順燕教授《數學的源與流》的幾點收獲

017 中國古代數學對“一帶一路”沿線國家的影響

018 數學閱讀錦上添花，實踐成果領航數壇新征程

019 提高概率教學質量的幾點思考

020 溫故建構新知 論證生成巧思 ——三角形的中位線定理的探究

021 讀《學好數學并不難》有感

022 體驗經典證法 滲透數學文化 ——以“勾股定理（第一課時）”教學為例

023 數學文化 文化數學 ——融合數學文化的中考試題的品析與啟示

024 善用數學文化 靈動數學課堂 優化育人途徑

025 基于數學文化的高中數學教學的實踐與研究

026 數學中的美—— 讀《數學文化中的美育滲透》有感

027 利用“去分母”解一元一次方程教學設計

028 海倫公式

029 《鏡花緣》中的數學“緣”

030 基于認知發展的數學理解教學 ——讀《數學教學心理學》所思所行

031 做一位有文化的數學教師 ——讀《數學教育中的數學文化》所感

032 向下紮根，追尋成長

033 運用讀思達進行中考文化類試題解題策略研究 ——以2021福建、北京中考試題為例

034 2021年中考中的傳統文化試題

035 數學文化閱讀課——《圓周率的曆史》

036 小學低年段課堂中滲透數學文化的思考 ——讀張齊華老師《用文化潤澤數學課堂》有感

037 五光十色的數學之《數學及其曆史》觀後有感

038 小折紙，有大曆史 ——可以寫入教材的“一刀剪”最大精确五角星折法

039 新高考改革背景下數學文化情境試題的考查研究 ——兼評2020年高考數學文化試題

040 淺談《怎樣解題》對教學的指導

041 如何讓數學文化浸潤常态化課堂教學——讀顧亞龍《以文“化”人》專著有感

042 中學教材和中考命題中的數學文化探析

043 在初中數學教學中滲透民族文化自信

044 初中數學教學中數學文化的滲透策略

045 第二章 探索圖形的規律——火柴棍裡的數學文化課堂實錄

046 淺談數學文化在小學數學課堂教學中的滲透

047 核心素養視角下數學活動的實施策略探究

048 基于數學史視角的初中數學教學思考——讀《數學文化漫談》有感

049 讀《張奠宙數學教育随想集》有感

050 讀浙大蔡天新教授《數學傳奇》有感

051 HPM視野下《一元二次方程概念》教學實錄與設計分析

052 探尋單位“1”下的直觀模型 ——讀《度量：一首獻給數學的情歌》有感

053 數是現實與想象的結合 ——讀《度量：一首獻給數學的情歌》的想象

054 基于數學之美的小學數學命題設計

055 “将軍飲馬”問題的前世今生

056 一次“數學文化”答題活動的題目設計

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!