周期函數的定義

如果存在一個非零常數T，使得當X取定義域内的任何值時，都有f(X T)=f(x)，那麼就稱函數y=f(X)為周期函數。

如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小的正數就叫做f(X)的最小正周期。

常見結論：

①若T是函數y=f(X)的周期，叫KT(K∈Z，且K≠0)也是y=f(X)的周期。即f(Ⅹ kT)=f(X);

②若f(X a)=一f(x)，則T=2a;

若f(X a)=1/f(X)，則T=2a

常見錯誤：

①認為隻有三角函數才有周期性。其實隻不過是三角函數的周期性比較明顯而已。

②認為周期函數都有最小正周期。有些周期函數有最小正周期，而有些周期函數沒有最小正周期。如f(x)=1，滿足f(X T)=f(x)=1，是周期函數，但沒有最小正周期。

題型一：已知周期，求值。

已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0<X<1時，f(Ⅹ)=4^×，則f(一5/2) f(1)=()

[思路探尋]：f(一5/2)=f(一5/2 2)=f(一1/2)=一f(1/2)=一4^(1/2)=一2;

f(X)是奇函數，∴f(一1)=一f(1)，又f(一1)=f(一1 2)=f(1)，∴f(1)=一f(一1)，所以f(1)=0。

同步跟蹤：

1、已知函數f(x)是周期為2的奇函數。當X∈(0，1]時，

f(X)=lg(X 1)，則f(2019/5) |g12=()

2、X為實數，[X]表示不超過X的最大整數，則函數f(X)=X一[X]在R上為()

A、奇函數B、偶函數C、增函數D、周期函數。

題型二：先求周期，利用周期性和單調性作出函數的圖象，再求值。

定義在R上的奇函數f(x)滿足f(X一4)=一f(X)，且在[0，2]上為增函數。若方程f (X)=m(m>0)在區間[一8，8]上有四個不同的根Ⅹ1，X2，X3，X4，則X1 X2 X3 X4的值()。

[思路探尋]：條件f(X一4)=一f(X)用來确定周期性。f(X 4)=一f(Ⅹ)，f(X 8)=f(X 4 4)=一f(Ⅹ 4)=f(X)，∴f(x)是以8為周期的周期函數。又f(x一4)=一f(x)=f(一X)，∴f(x)關于X=一2對稱，作出函數的圖象，

由中點公式知X1 X2=一6x2=一12，X3 X4=2X2=4，∴X1 X2 X3 X4=一8。

[同步跟蹤]：設f(x)是(一∞， ∞)上的奇函數，f(x 2)=一f(x)，當0≤X≤1時，f(X)=X。

（1）求f(兀)的值;

（2）當一4≤X≤4時，求f(x)的圖像與X軸所圍成的圖形的面積。

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