蝴蝶結第66種花式系法?作者 | 劉洋洲來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝，下面我們就來說一說關于蝴蝶結第66種花式系法?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

蝴蝶結第66種花式系法

作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

上一篇文章我們介紹了紐結和帶邊曲面的關系，并借由後者的分類定理從而對紐結産生更進一步的認識. 這篇文章我們從三維流形入手，展示紐結和其所在空間的關系.

流形（Manifold），是一種特殊的拓撲空間：簡單來說，在它其中的每一點都存在一個與歐氏空間開球同胚的鄰域. 而歐氏空間的維數就是流形的維數. 從局部來看，流形與歐氏空間無異，可是将各點的鄰域像一個又一個補丁覆蓋、拼結在一起，整體上會産生與歐氏空間截然不同的性質. 例如，維空間就是最簡單的流形；球面，環面是不同于歐氏空間的流形.

不過我們不必為“維空間”這樣的字眼所吓倒，下面着重介紹的情況.

三維球面

我們平時所說的球面即是二維球面，曲面方程為

三維球面則是在此基礎上增加一個維度，曲面方程為

然而方程并不能幫助我們直觀認識高維球面，借助拓撲手段卻可以.

方法一

我們知道二維球面是通過兩個二維圓盤粘貼彼此的邊界——圓周形成的，那麼通過簡單的類比，三維球面則是通過三維圓盤（實心球）粘貼彼此的邊界——二維球面可得. 然而這聽起來似乎是不可能的事情. 究其原因是因為三維球面無法嵌入到三維空間中，就像是球面無法嵌入到平面中一樣. 所以我們所謂的粘貼是抽象層面的粘貼，這是我們不得不接受的事實.

回到三維球面的制作，如下圖，我們将左右兩球的表面粘在一起. 思考三維球面中點的鄰域：位于（左右）球體内部的點，天然存在鄰域開球；而對于球面上的點，其鄰域球被分成兩個半球，左右各半. 這意味着當宇宙飛船穿越其中一個球體宇宙表面後就會立即進入到另一個球體宇宙中.

有一種方法可以幫助我們驗證如上粘貼的結果确實是.

觀察三維球面方程，考慮垂直軸方向的截面，

我們得到的是球心在，半徑為的球面，當時，球面退化為點. 借此方法，我們在上圖中的左球做水平截面——得到圓盤，則右邊的球也形成一個圓盤與之對應，兩圓盤的邊界粘貼為同一個圓周. 正如我們前面所說，兩個圓盤沿邊界自然粘貼，得到的便是球面. 于是“雙球模型”的截面也都是球面，并且在球的南北極截面退化為點.

方法二

另一種方法則是在三維空間中引入無窮遠點，即得到三維球面

對于普通點的鄰域依然是繼承自的開球鄰域；而對于無窮遠點，它的開球鄰域則是任意有限點球形鄰域之外的空間，即

對于無窮遠點而言，若點離原點越遠，則離無窮遠點越近. 顯然點的球形鄰域和無窮遠點的球形鄰域在它們彼此的邊界粘合，顯然又回到了的制作方法一.

實心環

我們再舉一個三維流形的例子. 與三維球面的雙球模型類似，兩個實心環粘貼表面的結果是什麼呢？與上例不同的是，粘貼方法不同，則結果不同.

方法一

如上圖，注意左右兩個實心表面上的紅色圓環分别為緯線、經線. 我們将左邊環面上的緯線與右邊環面上的經線粘貼. 不妨分為兩步進行：1.将左邊實心圓環切下一段柱體，其底面是緯線圍成的圓盤. 将這段柱體放置在右邊環面的洞内，柱體的側面與圓環面洞附近的圓環粘貼，顯然緯線與對應的經線重合. 由此我們得到一個實心球，而左面圓環剩餘的部分也是一段柱體，同胚于球面，于是最終還原為兩個球體将彼此的邊界粘貼，由前文可知，其結果為

方法二

第二粘貼方法則是将左右圓環面對應的緯線圍成的圓盤沿緯線粘貼——又是兩圓盤沿邊界粘貼，得到球面. 那麼這一次粘貼出來的結果是什麼呢？對于其上經線每一點，都對應一個球面，這個三維流形正是. （類比環面，經線上每一點都對應一個圓周）.

還有另外一種觀點：将實心球面内挖去一個開球，于是剩下的部分的邊界有兩個連通分支，一個是最外面的球面，一個是空心處的球面. 我們将這兩處的球面粘在一起，粘貼的方式如下：

與分别是内外兩球面上的點，兩者位于大球面的同一條半徑上，我們将其餘的點都以這樣的方式粘合在一起. 下面驗證這個模型和同胚. 如下圖，我們先将這個模型對半切分，每個部分同胚于一個實心球面的邊界關于赤道平面對稱的點粘貼，其結果恰是實心圓環. 這樣一來我們又回到上一種情形，兩個環面将彼此的邊界沿着緯線粘貼.

以上我們所舉的例子都是将兩個邊界曲面虧格相同的帶邊流形粘貼，以此得到新的流形. 這其實并非特例，事實上任意緊緻可定向流形都存在這樣的分解，我們稱之為Heegraad分解.我們繼續考慮虧格将所得到的的流形列出來. 然而，這樣的一個列表中會有大量重複的情況，而且如果給定一個以其他方式構造的流形，我們也無法判定它在列表中的什麼位置. 所以這不是一個理想的分類列表. 由于篇幅問題我們暫時不展開讨論了.

幾何在于分類. 一維流形和二維流形已經得到完全拓撲分類；由Whitney技巧，高維流形的拓撲分類已經取得巨大進展，然而Whitney技巧無法在三維、四維中使用，并且四維流形是不可能完全拓撲分類的，于是三維流形的完全拓撲分類成為當前焦點. 如果将紐結加粗，其本身就是同胚于實心圓環的三維帶邊流形. 這也是我們本文重點介紹三維流形的原因.

我們在起初時所考慮的是嵌入到歐氏空間的紐結，而事實上數學家更喜歡在中讨論紐結理論. 的優點有二：一是因為它與歐氏空間區别不大，簡單來說就是多引入了一個無窮遠元素而已；二是因為是一個緊緻的空間，也就是說它可以有限剖分為若幹四面體區域，類似于曲面上的三角剖分，而歐氏空間則顯然是不可能的.

我們不妨考慮一下中的紐結，我們僅舉一例用以說明空間對于紐結的影響.

如上圖，紐結經過内外球的北極點（它們是同一點），可以看出如果在三維歐氏空間，這是一個左手三葉結. 然而令人驚奇的是，這個紐結居然可以“解開”！但我們可以說這是一個平凡紐結嗎？非也！事實上這個紐結并不存在一個球形鄰域将其含在其中（存在環管狀鄰域）.

參考文獻

[1] Adams C C , Govindarajan T R . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots[J]. Phys. Today, 1995.

[2] Rolfsen D . Knots and links. Publish or Perish, 1976

[3] Massey W S . Algebraic topology:an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.

[4] Schultens J . Introduction to 3-manifolds. American Mathematical Society.

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