這是2022年高考數學全國卷I的一道關于三角形和三角函數的解答題。題目雖然并不是很難，但卻很經典。因為它運用到了很多三角函數公式，幾乎把公式都用了一個遍。

記△ABC的内角A, B, C的對邊分别為a, b, c, 已知cosA/(1 sinA)=sin(2B)/(1 cos(2B)).

(1)若C=2π/3，求B；

(2)求(a^2 b^2)/c^2的最小值.

分析：解決這類問題，首先肯定要從已知的等量關系中，轉化出解題需要的式子來。觀察已知等量關系，可以猜想轉化過程要使用到倍角的正弦和餘弦公式，它們分别是：

sin(2B)=2sinBcosB和cos(2B)=2(cosB)^2-1=1-2(sinB)^2. 代入已知等量關系後，化簡，下一步該怎麼做，就很難憑空想象出來了。隻能是摸着石頭過河了。

解：cosA/(1 sinA)=sin(2B)/(1 cos(2B))=2sinBcosB/(1 2(cosB)^2-1)=sinB/cosB.

【當然，接下來我們可以有很多不同的嘗試，但基本上都是嘗錯的過程。如何能夠提高一擊必中的概率，就隻能靠平時解題積累的經驗，以及對題目的觀察能力了。現在對上面得到的結果運用比例的基本性質，即“兩内項的積等于兩外項的積”，這是小學六年級數學下冊所學的知識】

cosAcosB=sinB sinAsinB,【注意觀察，移項後，式子中有一個“和的餘弦公式”的結果】

從而sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A B)=-cosC，【互為補角的餘弦互為相反，基礎知識要紮實. 從而根據互為餘角的正弦等于餘弦，以及相反的角度正弦相反，就可以得到】

(1)B=C-π/2=π/6.

【第二小題一看就知道，要運用“正弦定理”a/sinA=b/sinB=c/sinC=k. 随便給它們設一個比值。那麼a=ksinA, b=ksinB, c=ksinC，代入原式，就得到】

(2)(a^2 b^2)/c^2=((sinA)^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【然後想辦法把它轉化成一個關于某個角的正弦的函數】

=((sin(B C))^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【運用了互為補角正弦相等：sinA=sin(B C)】

=((sinBcosC sinCcosB))^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【運用了和的正弦公式：sin(B C)=sinBcosC sinCcosB】

=(-(cosC)^2 (sinC)^2)^2 (cosC)^2)/(sinC)^2【運用了題幹的結論，sinB=-cosC，從而有cosB=sinC. 這個關系有點理解起來有點困難。即sin(C-π/2)=-cosC；而cos(C-π/2)=sinC. 這些公式每一個都要記得牢牢的，特别是最後這個，感覺有點奇怪，拿特殊角度檢驗一下就可以了】

=((sinC)^2-1 (sinC)^2)^2 1-(sinC)^2)/(sinC)^2=(4(sinC)^4-5(sinC)^2 2)/(sinC)^2【這回又運用了正弦和餘弦的平方和等于1的公式，以及完全平方的展開式】

=4(sinC)^2-5 2/(sinC)^2>=4根号2-5. 【到這裡才可以運用均值不等式，如果一開始就對a^2 b^2運用均值不等式求最小值，那就大錯特錯了，因為ab并不是一個定值，所以不能。而這裡的2sinC和根号2/sinC的積恒等于2根号2，因此就可以運用均值不等式了】

所以當4(sinC)^2=2/(sinC)^2，即sinC=1/四次根号2時，(a^2 b^2)/c^2=4根号2-5最小。【一定要保證最小值可以取到。否則就要取定義域端點的值了】

怎麼樣？這道題算是同類題型的經典了吧！

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