世界數學難題欣賞——哥德巴赫猜想

在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫成三個質數之和。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a b"。1966年陳景潤證明了"1 2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。

猜想簡介：這個問題是德國數學家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在給大數學家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。

今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。

從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出：

任一大于7的奇數都可寫成三個質數之和

的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。

若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”，數學家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。

研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑。這四個途徑分别是：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理以及幾乎哥德巴赫問題。

1、殆素數

殆素數就是素因子個數不多的正整數。現設N是偶數，雖然現在不能證明N是兩個素數之和，但是可以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N=A B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如說素因子個數不超過10。現在用“a b”來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A B，其中A和B的素因子個數分别不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1 1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的[1]。

“a b”問題的推進

1920年，挪威的布朗證明了“9 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 6”。

1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 7”, “4 9”, “3 15”和“2 366”。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 5”。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 4”。

1956年，中國的王元證明了“3 4”。稍後證明了 “3 3”和“2 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1 c”，其中c是一很大的自然數。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 5”， 中國的王元證明了“1 4”。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了 “1 2 ”。

2、例外集合

在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前隻有一個例外偶數，那就是2，即隻有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1。當然，直到現在還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2；如果當x趨于無窮大時，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數定理發表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。

業餘搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。這個結論華老早在60年前就真正證明出來了。

3、三素數定理

如果偶數的哥德巴赫猜想正确，那麼奇數的猜想也正确。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數N可以表成三個素數之和，假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如說第一個素數可以總取3，那麼我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時，研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目标是要證明θ可以取0，即這個小素變數有界，從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。後來的很長一段時間内，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了，但是仍然大于0。

4、幾乎哥德巴赫問題

1953年，林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數k，使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方幂之和。這個定理，看起來好像醜化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方幂之和的整數構成一個非常稀疏的集合；事實上，對任意取定的x，x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集裡面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去，這個表達式就成立。這裡的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方幂就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數值，此後四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值後來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。目前最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破

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