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立體幾何問題常用方法

生活更新时间:2025-02-12 16:55:23

立體幾何問題常用方法（立體幾何中常用的數學思想方法）1

數學思想是數學的靈魂，是同學們學習過程中最需要總結的法寶，下面例析數學思想方法在立體幾何中的應用。

一. 分類讨論的思想

例1. 不共面的4個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有。

A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 7個

解：把不共面的4個定點看成四面體的4個頂點，平面α可分兩類。第一類，如圖1所示，4個定點分布在α的一側1個，另一側3個，此類α有4個。第二類，如圖2所示，4個定點分布在α的兩側各2個，此類α有3個。綜上，共有4 3=7（個），故選D。

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二. 轉化的思想

化歸與轉化的思想在立體幾何中随處可見，特别是空間問題平面化，如空間中的角與距離轉化為平面中的角與距離。

例2. 一個與球心距離為1的平面截球所得的截面面積為

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，則球的表面積為

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解：如圖3所示，作出球的大圓截面圖，由截面小圓的面積為

即

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，得

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則

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，應選B。

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圖3

三. 函數的思想

例3. 已知圓錐的底面的半徑為R，高為3R，在它的所有内接圓柱中，全面積的最大值是

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解：如圖4所示，設内接圓柱的半徑為

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，高為h

則有

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，得

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。

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圖4

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四. 方程的思想

例4. 已知正三棱錐

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的體積為

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，側面與底面所成的二面角為60°。

（1）證明：

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。

（2）求底面中心O到側面的距離。

（1）證明：取BC邊的中點D

連結AD、PD，則

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故

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，因此。

（2）解：如圖5所示，由（1）可知平面

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則

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是側面與底面所成二面角的平面角

由題意知點O到各個側面的距離相等

過點O作

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，則OE就是點O到側面PBC的距離

設

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為x，由題意可知點O在AD上

則

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立體幾何問題常用方法（立體幾何中常用的數學思想方法）33

圖5

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底面中心O到側面的距離為3。

▍ 來源：綜合網絡

▍ 編輯：Wordwuli

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