虛數i的運算公式圖解?虛數i之所以還叫虛數，是因為它不太好理解，今天小編就來聊一聊關于虛數i的運算公式圖解?接下來我們就一起去研究一下吧!

虛數i的運算公式圖解

虛數i之所以還叫虛數，是因為它不太好理解。

人對數的認識是有個發展過程的。

最開始，也許是人們數指頭，有了自然數的概念。

通過記賬，人們接受了負數。

通過丈量，人們接受了分數（有理數）。

通過邏輯，人們認識了實數（有理數 無理數）。

為了方便，人們引入了虛數i，從而認識了複數。

先來講一講虛數i提供了怎樣的方便。

我們知道，在實數範圍内，多項式方程有時候有解，有時候則無解。比如x平方等于1，x有1和-1兩個解；而若令x平方等于-1，則x沒有實數解。

也許愛好解方程的人不甘于碰到負數就不能開根号，突然腦洞大開，為了任何情況都能開根号，就發明了個記号i，讓i的平方等于-1，這樣，x平方若等于-1，則同樣有兩個解，i和-i。

後來發現，雖然在實數上隻添了一個i（數域擴充到了複數），方程的理論卻變得簡潔漂亮了。其中一個著名的結論就是，對于次數為n的多項式方程，存在n個複數解。

就像一個外國人來到中國，時間長了，你除了覺得他（她）有那麼一點不一樣之外，其餘都是很OK的。

所以，出于種種好處與便利，人們接受了這個i，并認識了複數。就像我們給外國人辦發了中國國籍 一樣，i從此就成了數的大家族的一員。

可是，對i的認識，我們一般人，包括大學生，還是比較少的。

這裡說一說歐拉公式。

這是個啥呢？

右邊都知道，是個負數，-1。

左邊就比較奇怪了，是個底數為字母的，指數卻又是個複數的東西。

e比較好理解，實際上和一樣，就是個常數（它是超越數，也是實數，但不是實系數代數方程的解），它的值大約等于2.72。

e的故事也能說一大堆，和那個神奇的圓周率一樣。

不說這個e了，複數作為指數又怎麼理解呢？這個是難點。

别說這個複數作指數難理解了，就是任意一個實數作指數也需要一個認識過程。

首先，如果指數是個正整數，比如，意思就是三個5相乘，很好理解。

如果指數是零，我們規定這個幂次等于1。即。

如果指數是個負整數，比如，等于什麼呢？它等于三個5相乘的倒數。這個實際上可以推出來，因為根據幂函數的性質，我們有

下面來看分數的情況，我們規定, 如果這個分數是負數，則和整數情況一樣，先求正的部分的值，然後取倒數。這個定義是很合理的，因為這樣的話，指數函數(x 是自變量）就是連續的。

可還有些美中不足，因為x的取值目前隻是定義了有理數部分。無理數作為指數怎麼辦呢？

這就要有那麼點對極限的理解了，大一學微積分一開始就涉及這個。

我們可以找一個無限接近這個無理數的有理數來定義無理數指數的值。（這句話讀起來有點暈阿。。）

就是說，雖然我們知道無理數和有理數不可能相等，但因為想多接近就能多接近，我們想象一個極限，用這個極限來定義無理數指數的值。（其實無理數我們也是靠想象的，比如，你用小數表示它，那是無限不循環小數，所以最終用的時候往往是個近似的值。）

讀到這裡，我們已經跨越了一大步：完全理解了一個指數函數的值是怎麼求得的。

指數若是虛數呢？

這個就不太好理解了，我們要尋找一個橋梁。

說起來有些話長，對于沒學過微積分的朋友可能有點難。

其實微積分也沒有離開中學數學太遠，隻是建立在函數基礎上發展了一套工具而已。

微分，或者說求導數，意思就是求一個函數的瞬時變化率，或者說是函數曲線上某點的切線斜率。

當然不是那麼好求的，不然也不用學微積分啦。簡單的講，先用求極限的種種方法和性質，就可以比較快速的把導（函）數找出來。

那麼指數函數比較複雜，以緻于當指數x是虛數的時候，就不好理解了，沒法兒算了。聰明的同學可能想到了，既然指數函數不好算，可不可以把它寫成一個比較好算的等價形式呢？

可以的。

先把寫成一個多項式形式。當然，指數函數不可能等于一個多項式，所以這個多項式我們得先寫成無限項，讓系數待定，即

為了方便說明，我們令a=e，就是前面說的那個大約等于2.72的數。

現在，讓x=0，通過這個等式，我們得出。

接着，對等式兩邊求導，等式左邊不會變（這就是為啥要選e，如果不是e，會多出一個系數。）

等式右邊，對每一項先求導再相加（即使有無限項），等式就變成了

現在再讓x=0，得出。

按照這種方法，可以推出。

所以

大概有的同學明白過來了，你不就是在說指數函數的泰勒展開嘛！（雖然我感覺好多同學學完微積分，卻不知道泰勒展開怎麼推出來的。）

這個指數函數的泰勒展開呢，你别看右邊一大堆，但其實是個多項式（有無限多項），而多項式的計算，即使是虛數，也可以算。

這樣我們就搭好了計算虛指數函數的那座橋梁。

隻要讓即可。

可是，右邊雖然可以算，但有無限項，要得出值是多少并不很簡單，但我們可以先看看展開的實數部分和虛數部分系數的前m項和，看看有沒有什麼趨向？趨向于什麼值？

實數部分的值是

虛數部分系數的值是

計算前5，前10，前100項的和，計算結果列于下表，大家看看有什麼規律 ？(計算機算的，可能會引入小的誤差，但一般隻在末尾有誤差。）

從表中的數據可以看出，實數和虛數部分系數計算的項越多，越接近于某個值。實數趨向于-1，虛數趨向于0。

我們似乎看到了歐拉公式的成立。

先說這麼多吧！

說到這兒，不管你懂沒懂，還是似懂非懂，應該給我點個贊了：）

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