數學模型決策變量要分開寫?所有以x¹,x²,…,xⁿ為變元的多項式f(x¹,x²,…,xⁿ)的全體組成了多項式環k[x¹,x²,…,xⁿ]，其可以作為仿射空間Aⁿ上的函數，而代數集就定義為一族多項式的公共零點集這一族多項式可生成多項式環的一個理想，也就是多項式環的具有某種代數性質的一個子集，但關鍵在于理想的公共零點集恰好就是這族多項式的零點集，這樣我們就把代數集轉化定義為理想的公共零點集，因為理想具有很好的代數性質，所以就可以通過理想把代數集納入抽象代數的框架下面進行研究從這點出發，因為多項式環的理想是有限生成的(希爾伯特基定理)，所以代數集是有限個多項式的公共零點，這是第一個有趣的結果，因為我們所說的一族的含義有可能是有無限個，但是這個結果告訴我們，無限的情況不可能發生，所有的代數集都是有限個多項式的零點，下面我們就來說一說關于數學模型決策變量要分開寫?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

數學模型決策變量要分開寫

所有以x¹,x²,…,xⁿ為變元的多項式f(x¹,x²,…,xⁿ)的全體組成了多項式環k[x¹,x²,…,xⁿ]，其可以作為仿射空間Aⁿ上的函數，而代數集就定義為一族多項式的公共零點集。這一族多項式可生成多項式環的一個理想，也就是多項式環的具有某種代數性質的一個子集，但關鍵在于理想的公共零點集恰好就是這族多項式的零點集，這樣我們就把代數集轉化定義為理想的公共零點集，因為理想具有很好的代數性質，所以就可以通過理想把代數集納入抽象代數的框架下面進行研究。從這點出發，因為多項式環的理想是有限生成的(希爾伯特基定理)，所以代數集是有限個多項式的公共零點，這是第一個有趣的結果，因為我們所說的一族的含義有可能是有無限個，但是這個結果告訴我們，無限的情況不可能發生，所有的代數集都是有限個多項式的零點。

一，Zariski拓撲與坐标環，一切貌似都很完美。

現在我們把理想寫成小寫的拉丁字母a,b,c,...，它們所對應的代數集記為Z(a),Z(b),Z(c)...，

其中Z是英文單詞zero的首字母，表示零點的意思。

進一步讨論理想和它所對應的代數集之間的關系，我們會發現Z(k[x¹,x²,…,xⁿ])=∅，Z(a)∪Z(b)=Z(ab)以及∩Z(aⁱ)=Z(∑aⁱ)，這就是說有限代數集的并和任意代數集的交仍然是代數集，這個結果符合拓撲公理，啟示我們所有的代數集可以形成一個拓撲的閉集，這個生成的拓撲就叫Zariski拓撲。。

到目前為止都是在空間Aⁿ上讨論。如果我們固定一個代數集Z(c)，把以上的思路用來考慮其他代數集與Z(c)的交，注意這個交可以寫成形式Z(a c)，我們得到關系式 Z(a c)∪Z(b c)=Z(ab c)， ∩Z(aⁱ c)=Z(∑aⁱ c)，

這就啟示我們可以把包含在Z(c)内部的代數集作為閉集來形成拓撲，也叫Zariski拓撲。由于這樣的代數集都是由包含理想c的理想所生成的，而根據代數上的結果，這恰好對應于商環k[x¹,x²,…,xⁿ]/c的理想。因此，我們把帶有Zariski拓撲的代數集Z(c)對應于商環k[x¹,x²,…,xⁿ]/c，閉集對應于商環的理想。但是這個對應并不是一一對應的，不同的理想可以對應同一的代數集。兩個理想滿足什麼條件時，它們對應相同的理想？這個問題由希爾伯特零點定理所解決，該定理是說當且僅當它們的根相同時，它們對應相同的代數集。這對應于f=0和fⁿ=0具有相同的零點這一事實。

因此，我們的代數集全體對應于那些與其根相同的那些理想，這些理想被稱為根理想，這樣我們就可以把注意力放在根理想上。在這個對應關系下，Z(a)⊂Z(b)當且僅當a⊃b，這也就是這個對應關于包含關系是反向對應的，例如，閉集的點就對應于所有包含這個理想的極大理想的全體。如果我們定義Y(a)就對應于那些包含a的極大理想的全體，按照這個定義，可以給出Y(a)∪Y(b)=Y(ab)以及∩Y(aⁱ)=Y(∑aⁱ)的完全按照理想語言的新證明。注意，在證明的過程中隻利用了極大理想是素理想的性質，而跟極大性無關，這就是說我們可以把Y(a)視為那些包含a的素理想的全體，關系式仍然正确。

這裡，我們再細緻的觀察代數集的zariski拓撲。這個拓撲特别的粗糙，比如，對于仿射空間Aⁿ來說，開集是整個仿射空間去掉低一維的子集，而且這個子集比較規整，就是多項式的零點，這相比于通常的歐式拓撲來說，開集相當的少了。從拓撲性質來說，Zariski拓撲不具備Hausdoff的分離性，這一點從代數上看，對于任意一族多項式，都有相當多的仿射空間中的點不是這些多項式的零點，這裡的關鍵在于有限性，這是希爾伯特基定理所保證的，是多項式環的諾特性的體現。另一方面，這個Zariski拓撲有不可約集，因為它不像歐式空間一樣有充分多的閉集來進行分解，這就導緻了有相當多的代數集不可約。因為我們的代數集所對應的環是諾特環，所以根據反向對應關系，代數集也是諾特空間，也就是說具有嚴格包含關系的閉集列有盡頭。根據這個事實，可以用這個拓撲事實來證明任何代數集均可以分解為不可約集合的并，當然從代數上來看，這也是諾特環中的準素分解定理的推論。

從這個不可約分解定理引出兩個思考，第一是既然不可約集是不可分解的代數集，是否我們可以把這個不可約集視為最小組成單元？要知道，單點也是不可約集，是否可以把它和單點視為同樣的地位，也就是把不可約集也看成一個“”點”？這就像物理一樣的把不可分解的粒子視為基本粒子。第二，不可約代數集(也被稱為簇)對應的是素理想，所以其子拓撲對應的坐标環是整環，整環有非常好的性質，所以可以預見，簇也具有相當好的性質。因此，我們研究一般的代數集時可以先把代數集進行不可約分解，然後再研究每個不可約分支，也就是簇，的性質，通過這兩步，就能把問題得到簡化。

二，正則函數以及态射，問題的浮現。

有了拓撲空間，我們自然就要讨論其上的函數。因為如果每個不可約分支上決的函數确定了，那麼整個代數集上的也自然确定了，所以我們限于在簇上讨論。首先的問題是什麼樣的函數才能作為代數集上的函數？目前我們的素材是多項式環以及上面的商環，然後我們可以通過加減乘除開根号等等運算來生成新的函數，因為我們代數幾何的目的是為了用簡單的隻有加減乘除來研究多項式的根号運算所以我們目前所定義的函數隻能用加減乘除來定義。由于我們是在簇上考慮的，我們的坐标環是整環，可以做加減乘除法(坐标環是整環，這也是我們限于簇上讨論函數的原因)。因為環關于加減乘封閉，所以隻有除法能得出新的函數，這就是有理函數域。但是因為有理函數的分母有零點，所以在簇上的任意一點上，并不能保證每個有理函數都有定義。對每一個點，我們考慮在其上有定義的有理函數的全體，稱之為關于這一點的正則函數芽。也就是說，我們讨論簇上的函數不是從函數本身整體上考慮的，而是換一種角度，給簇上的每一點賦予一族有理函數，這個有理函數族是随着點變化而變化的，這其實是層的概念的雛形。

接下來，我們要将簇以及它上面的正則函數徹底的代數化。利用簇與坐标環中理想的反向包含對應關系，得出簇上的點一一的對應于它的坐标環中的極大理想，簇中的閉集對應于一個理想，而不可約閉子集對應于素理想。而某個點所對應的極大理想就是在該點取值為零的多項式全體，所以多項式除以不屬于這個極大理想的多項式所形成的有理函數的全體就是這個點的正則函數，這個過程在代數上稱為局部化過程。

我們接下來還要讨論簇之間的态射，同樣的，我們首先面臨着該如何定義簇之間态射的問題。因為在簇上我們定義了正則函數，所以我們對簇之間态射的最低要求是正則函數和這個态射的複合仍然為正則函數。一個漂亮的結論就是每個滿足這最低要求的映射與兩個坐标環之間的代數同态一一相對應。這個結果說明仿射簇之間的态射必須是相應的坐标環之間的同态所誘導的，這就已經是很強的限制了，使得我們沒有可選擇的餘地，而且這個結果又非常整齊，這就促使我們把滿足這個最低要求的映射就定義為簇之間的态射。現在我們把态射代數化，把簇的點用坐标環的極大理想來表示，這時态射其實就是用坐标環之間的代數同态把極大理想的拉回，也就是用代數同态把一個坐标環的極大理想全體拉到另一個坐标環的極大理想全體之中去。總的來說我們的思路是由态射導出坐标環之間的代數同态，然後再由這個坐标環之間的代數同态導出極大理想之間的态射，其實就是拉回。很遺憾，極大理想經同态拉回并不一定是極大理想了。

第三節，添加廣義點來解決問題。

克服這一點的想法就是在簇中的通常的極大理想的基礎上添加新的理想，這新添加的點我們稱之為廣義點，使得經坐标環之間的代數同态拉回後“點”仍然對應的是“點”。有一個代數命題是說在環同态下，素理想的拉回仍然是素理想，也就是說素理想具有很好的“拉回”性質，而且素理想和極大理想相差并不算太大，所以就啟發我們把所有的素理想添進去，得到一個擴充的簇，它的點對應于坐标環中的素理想，極大理想對應于簇中的原來的點，不是極大理想的素理想對應于簇中的不可約代數集。

我們對簇的概念有了新的定義，這就必須對Zariski拓撲，正則函數以及态射的定義進行重新的審視，我們希望新定義的和老的簇之間的相關概念有繼承性。

對于拓撲，需要檢驗老的簇是否為新的簇的子拓撲空間。首先我們在新的簇上定義拓撲，根據代數閉子集與坐标環的理想之間的反向包含關系，我們定義Z(a)是那些包含a的極大理想的全體，也就是閉集是那些包含某個理想的素理想的全體。根據前面的結論，這确實定義了一個拓撲，而且與老的簇上的拓撲一緻。

我們已經有了對于閉點的正則函數的定義，對于新添加的廣義點，我們仍仿照閉點的正則函數那樣，定義多項式除以在這個素理想上不為零的多項式所形成的有理函數的全體就是廣義點的正則函數。這裡，我們把多項式在這個廣義點(素理想)上為零解釋為這個多項式屬于這個素理想。需要注意，我們的正則函數在這一點的附近均有意義，這是因為正則函數的分母的主理想形成了一個閉集，它的補是那些不包含這個多項式的素理想形成的開集，也就是說這個分母多項式在這個開集的任意點上均不為零，所以正則函數在這個開集上有意義。

最後我們看态射的概念。前面已經說明，兩個舊的簇之間的态射唯一的對應一個兩個坐标環之間的代數同态，而我們之所以添加廣義點素理想的原因就是素理想在這個代數同态下的拉回仍然是素理想，這自然與原來的态射契合。

代數上，環R的素理想全體稱為R的素譜，記為spec R。

四，推廣，一般概型的引出。

到目前為止，我們讨論的都是代數集和仿射簇，從代數上看，我們考慮的是商環k[x¹,x²,…,xⁿ]/a的素譜，其中a是根理想或者是素理想。但是如果理想a不是根理想或素理想，而是一般的理想，上面理論框架對也成立，因此可以推廣到一般的商環的素譜spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a上。把 素譜Spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a配上所定義的正則函數芽，我們就稱其為概型。代數學上的一個定理是說: 對任何理想a，包含它的素理想的全體的交是理想a的根√a，根據這個結果，素譜spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a和素譜spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/√a作為拓撲空間是一緻的。但是素譜spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a上的函數因為是以k[x¹,x²,…,xⁿ]/a為素材構造的，它包含幂零元，所以素譜spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a的正則函數除了包含一般的函數外，該包含有幂零元。

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