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如何判定矩陣相似對角化

圖文更新时间:2024-12-19 14:52:03

在讨論今天的主題之前，我們先給出三類矩陣的定義，分别是相似矩陣、可逆矩陣、對角矩陣。

相似矩陣：在線性代數中，相似矩陣指的是存在相似關系的矩陣，設A、B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B。

可逆矩陣：存在n階矩陣A和n階矩陣B，使得矩陣A、B的乘積為單位矩陣，則稱A為可逆矩陣，B為A的逆矩陣。

對角矩陣：一個主對角線之外的元素都為0的矩陣。

根據我的主題，大家也能夠想到今天要談的，便是關于相似矩陣中的可逆矩陣P能否對角化。

相似矩陣不用多說，大家也清楚，證明兩個矩陣相似，便是存在n階可逆矩陣P，滿足上面的定義。

那麼對于判斷矩陣A與對角矩陣相似呢，我直接給出定理，這也是書本上提到的。

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個線性無關的特征向量。

話不多說，接下來就給出一道實際的例題，來讓大家詳細了解一下：

如何判定矩陣相似對角化（線性代數求可逆矩陣P）1

如圖所示，這道例題便是告訴我們兩個矩陣相似，其中各個矩陣之中都有未知數，讓我們通過相似矩陣的性質來求出未知數的值。

這裡筆者當時在做的時候，有個點沒有注意到，那便是相似矩陣兩者的迹數相等，也就是主對角線上所有元素之和相等，導緻我沒有列出第一個式子，至于第二個式子，大家也都知道，就是行列式的值相等。

如何判定矩陣相似對角化（線性代數求可逆矩陣P）2

這是第二小題的做法，它的目的是讓我們求出可逆矩陣P，滿足P^(-1)AP是對角矩陣，對于這類題型而言，正如圖中所說，是有如下步驟的：

1、求出全部的特征值，這裡因為矩陣A和矩陣B相似，所以求矩陣B的特征值更好求，得到1，1，5。

2、然後對每一個特征值求特征向量，寫出基礎解系。

3、然後代入到可逆矩陣P中，算出答案。

最後總結一下，對于求相似矩陣包含的未知數而言，最基本最重要的就是記住相似矩陣的性質，而對于求可逆矩陣P而言，最重要的就是知道解題步驟，清楚特征值特征向量該如何使用。

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