分數與比

什麼是比？現行小學數學教材是這樣定義的：兩個數相除，又叫兩個這兩個數的比。如，6÷4寫作6︰4，讀作出6比4。在課堂上，學生曾經對此提出質疑：“既然兩個數相除，又叫做這兩個數的比，那麼為什麼還要學比呢？”老師也因為一時無法給予學生滿意的解釋而感到尴尬、無奈。

比的由來

關于“比”，《辭海》的注釋是：數學名詞。比較兩個同類量a和b的關系時，如果以b為單位來度量a，稱為a比b，所得的數k稱為“比值”，記a∶b =k或

=k。“︰”叫比号，比号前面的a叫比的前項，比号後面的b叫比的後項。

長度、面積、體積、質量、時間等常見的量，都是物體可度量的屬性。度量包含“度”和“量”兩個方面，“度”是度量單位，“量”是測量；表示度量結果的數k，就是量數。實際上，量數k就是量與度量單位（兩個同類量）的比值。

比的這種解釋雖然說明了比是在比較兩個量的關系時産生的，但它的缺陷是不能概括生活中需要比較兩個不同類量的情形。

我們知道，物體除了可度量的屬性外，還有許多不可度量的屬性，例如形狀、速度、單價、顔色、質地等等。這些屬性雖然不可直接度量，但它們也需要比較，例如，“這兩張圖像不像？”“誰跑得快？”等等。

例1 觀察下面的長方形，哪些長方形與長方形A比較像？（北師大數學六年級上冊生活中的比情境圖）

長方形的形狀與它的長、寬有關。長方形B和D都像長方形A，原因是這三個長方形的長都是它們寬的1.5倍。

長方形C和E都不像長方形A，原因是長方形C長不是它寬的1.5倍，長方形E的長也不是它寬的1.5倍。

雖然長方形的形狀不可度量，但它卻能通過長方形的兩個可度量的量——長和寬進行比較。

例2 誰的速度快？

比較誰的速度快，常用兩種方法：在相同的時間内，看誰跑得遠；或者，跑同樣的路程，看誰用的時間少。

如果騎車2時，那麼行程是45千米的2/3=30千米。

如果騎車40千米，那麼需要時間是3時的40/45=8/3時。

經過必要的計算與比較，可知馬拉松選手的速度比騎車者快。

雖然速度是不可直接度量的量，但它卻能通過路程與時間這兩個可度量的量進行比較。

上面的兩個範例告訴我們，比源于度量，又超越了度量。度量解決的是物體可度量的屬性的可比性問題，但度量隻能解決同類量之間的比較問題。比是通過兩個可度量的具有對等關系的量來刻畫物體不可度量的屬性，解決物體不可度量的屬性的可比性問題。所謂兩個對等關系的量是指與同一個事物對應的兩個量，它們可能是同類量（如，同一個長方形的長與寬），也可能是不同類的量（如，騎車者的行程與所用的時間）。

現實世界的比與數學世界的比的區别就在于必要的抽象。不論是兩個同類量的比還是不同類量的比，到了數學世界都必須舍棄它們的物理意義，抽象成為兩個數量的比；這樣的兩個數量可以代表部分與整體，或者部分與部分，或者兩個不同的整體。在數學世界裡，為了形成新舊知識之間的推理聯系，需要給兩個數量的比重新下定義。這個定義就是“兩個數相除，又叫這兩個數的比。”

分數也是比

為什麼選擇除法來定義比呢？

首先，比值是比的量化，而比值就是比的前項除以它的後項的商，所以選擇除法定義比順理成章。

其次，分數和比具有不同的現實背景，也是不同的數學概念，選擇除法定義比，能夠打通分數和比之間的本質的聯系。即a︰b=a÷b=（a≠0，b≠0）

根據分數與除法的關系，我們知道分數可以作為兩數相除的商，兩數相除也可視為分數的一種運算結構。把兩個數相除定義為這兩個數比，使得分數不僅可以表示兩個數的比值，而且分數本身也可以表示兩個數（分子和分母）的比。

有了比的除法定義，使得除法、比和分數等重要的數學概念，被組織成了一個綜合貫通、相互聯系的整體結構。

分數是抽象的。分數是可化為整數比的數，但是古希臘人、羅馬人都盡量避免分數的使用。例如，他們會說一所學校男生和女生的人數比是4︰3，而不說4/3的學生是男生。

根據分數的基本性質可以把所有的分數分成無窮多個等價類，每一個分數的等價類都以其中的最簡分數為代表。同樣地，根據比的基本性質也可以把所有的比分成無窮多個等價類，每一個比的等價類也以其中的最簡整數比為代表。

最簡分數也是最簡的整數比。

百分數也叫百分比

我國人口約占世界人口的21％，但我國的耕地面積僅約占世界耕地面積的7％。21％和7％這兩個數，幫助我們了解中國的國情：耕地面積少而人口衆多。因此，我們必須自力更生，奮發圖強，搞好農業，确保我國的糧食安全。

根據我國居民平衡膳食的要求，每人每天谷類食物的攝入量約占食物總攝入量的47.4％，而油脂類僅占1.3％。

像21％，7％，47.4％， 1.3％，……這樣的數叫作百分數，表示一個數是另一個數的百分之幾。換句話說，百分數是表示兩個數的比的分數。所以，百分數也叫百分比，百分率。

内容決定形式，形式服務于内容。由于百分數隻含“比率”的意義，所以它也被賦予特殊的形式，即用百分号“％”替代分母100。

在分數、小數和百分數之間，究竟存在怎樣的關系呢？例如3/10，0.3，30％。

答案是3/10，0.3，30％是同一個數。因為在數線上它們表示同一個點。為什麼同一個數需要不同形式？

同一個數的不同形式，都有各自适用的場合，也就是說，在不同的場合需要用到數的不同的形式。所以，對于同一個數的不同形式，必須掌握它們互化的方法和技能，并會根據不同的場合選擇數的恰當的形式。

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