前面已經将二次函數的概念、定義、最簡二次函數以及最簡二次函數經過上下、左右平移而得到的新的函數關系式。中考生們應該熟練掌握二次函數基礎知識，是沖刺中考的前提和保障。

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一，二次函數y=a(x h)² k的圖像和性質

1.二次函數y=a(x h)² k的圖像是一條抛物線，它的頂點是（-h，k) 對稱軸是x=-h

當a＞0時，圖像開口向上，有最低點，即頂點是（-h，k) 當x=-h時，y有最小值為k；在對稱軸的左側，y随x的增大而減小，在對稱軸的右側，y随x的增大而增大。

當a＜0時，圖像開口向下，有最高點，即頂點是（-h，k) 當x=-h時，y有最大值為k；在對稱軸的左側，y随x的增大而增大，在對稱軸的右側，y随x的增大而減小。

2.抛物線y=a(x h)² k與y=ax²的關系

抛物線y=a(x h)² k可由抛物線y=ax²平移得到，它們的形狀相同，位置不同。

把y=ax²的圖像先沿着x軸向左（或向右）平移|h|個單位後，得到y=a(x±h)²的圖像；再沿着y軸向上（或向下）平移|k|個單位，得到y=a(x±h)² k的圖像。

例如y=3(x-2)² 1的圖像是由抛物線y=3x²向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到的。

注意：y=ax²上、下平移後得到y=ax²±k的規律是“上加下減”

y=ax²左、右平移後得到y=a(x±h)²的規律是“左加右減”

3.由于從y=a(x h)² k（a≠0）中，可直接看出抛物線的頂點坐标，所以把y=a(x h)² k（a≠0）叫做二次函數 的頂點式；把y=ax² bx c（a≠0）叫做二次函數的一般式。

注意：頂點決定抛物線的位置，幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那麼抛物線開口方向，開口大小完全相同，隻是頂點不同。

例如：y=3x²與y=3x² 1、y=3x² 2x等隻是頂點位置不同。

抛物線的移動主要看頂點的移動，如：y=3x²與y=(x 1)² 3的位置關系，先求出頂點，y=3x²的頂點坐标是（0，0），y=(x 1)² 3的頂點坐标是（-1，3），平移時與上、下、左、右的先後順序無關。

二，二次函數的一般式y=ax² bx c與二次函數的頂點式y=a(x h)² k的相互轉化

1.頂點式y=a(x h)² k轉化一般式y=ax² bx c

例如：y=(x-1)² 2 （頂點式）

=x²-2x 1 2

=x²-2x 3 （一般式）

解題技巧：将頂點式中的括号打開，再進行合并同類項。

2.一般式y=ax² bx c轉化頂點式y=a(x h)² k

y=ax² bx c

=a[x² (b/a)x (c/a)]

=a[x² 2(b/2a)x (b/2a)²-(b/2a)² (c/a)]

=a[x (b/2a)]² (4ac-b²)/4a

令h=b/2a，k=(4ac-b²)/4a，則y=a(x h)² k

因此，抛物線y=ax² bx c的對稱軸是x=-b/2a ，頂點坐标[-b/2a,(4ac-b²)/4a]

解題技巧：利用配方法在一般式加上一次項系數一半的平方，再減去一次項系數一半的平方，這樣一加一減，與原來式子恒等。

三，求抛物線的頂點和對稱軸的方法

1.公式法：y=ax² bx c

= a[x (b/2a)]² (4ac-b²)/4a

頂點坐标[-b/2a,(4ac-b²)/4a] 對稱軸是x=-b/2a

2 .配方法：将抛物線的關系式化為 y=a(x h)² k ，得到頂點為（-h，k)，對稱軸是直線x=-h

四，二次函數y=ax² bx c圖像的畫法

1.描點法：把二次函數y=ax² bx c化為 y=a(x h)² k的形式；确定抛物線的開口方向、對稱軸、頂點坐标；在對稱軸兩側，以頂點為中心，左右對稱描點畫圖。

注意：若抛物線與x軸有交點，最好選取交點描點，特别是在畫抛物線草圖時，應注意以下各項：

開口方向、頂點、對稱軸、與x軸的交點、與y軸的交點。

2.平移法：利用配方法把二次函數y=ax² bx c化為 y=a(x h)² k的形式，确定其頂點（-h，k)；畫出y=ax²的圖像；将抛物線y=ax²的圖像平移，使其頂點平移到（-h，k)。

注意：平移圖像的基本要點：上加下減、左加由減。

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四，用待定系數法确定二次函數的解析式的步驟

1. 設，先設出二次函數的解析式，一般式y=ax² bx c、頂點式y=a(x h)² k、交點式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0。

2. 代，根據題中所給的條件，代入二次函數的解析式中，得到關于解析式中待定系數的方程組。

3. 解，解此方程（組）求待定系數。

4. 還原，将求出的待定系數還原解析式中。

五，抛物線的解析式的确定方法：一般式y=ax² bx c、頂點式y=a(x h)² k、交點式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0。

考生們一定要熟練掌握這幾種方法，根據題意正确選擇采用哪種形式合适。

六，用合适觀點看一元二次方程

（一）抛物線與直線的交點

1.抛物線y=抛物線y=ax² bx c與y軸的交點與y軸的交點是（0，c)

2.抛物線y=ax² bx c與x軸的交點，因為x軸上的點的縱坐标都是0，所以令y=0代入得ax² bx c=0

若△≥0，則這個抛物線與x軸有交點。

若△＜0，則這個抛物線與x軸沒有交點。

3.一次函數y=kx b1(k≠0)的圖像與二次函數y=ax² bx c（a≠0）的圖像的交點由方程組y=kx b1與y=ax² bx c聯立的解的個數決定。

當方程組有兩個不同的解時→兩個函數有兩個交點。

當方程組有兩個相同的解時→兩個函數有一個交點。

當方程組無解時→兩個函數沒有交點。

逆向也成立。

（二）二次函數y=ax² bx c與一元二次方程ax² bx c=0的關系

抛物線y=ax² bx c與x軸交點的橫坐标x1、x2是一元二次方程ax² bx c=0的兩個根。

△=b²-4ac決定抛物線與x軸交點的個數。

△＞0→抛物線與x軸有兩個交點。

△=0→抛物線與x軸有一個交點。

△＜0→抛物線與x軸沒有交點。

七，二次三項式、一元二次方程、二次函數、一元二次不等式之間的關系

當二次三項式為0時，便是一元二次方程，此時x的值是一元二次方程的解，也是二次函數的圖像與x軸交點的橫坐标。

當二次三項式大于0（或小于）時，便是一元二次不等式，即考慮x值在哪個範圍内變化時為正或為負，若二次函數y=ax² bx c的圖像在x軸上方（或下方），則ax² bx c＞0（或＜0），此時ax² bx c＞0（或＜0）的解集為全體實數或無解。

八，實際問題與二次函數

的方法

1. 配方法、2.公式法、3.判别式法。

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關于包含二次函數的知識點的題型很重要，基本都是以同其他知識相結合的壓軸題的形式出現，請考生們在做曆年中考真題時要多加以訓練，做到熟練掌握。仔細琢磨題中的題設條件，善于利用題設條件挖掘隐含條件，通過訓練中考真題，來提高追及的答題水平，為沖刺中考做好準備，機會總是留給有準備的人。

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