“悖論”這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論。那些結論會使我們驚訝無比。悖論主要有三種形式：1.一種論斷看起來好象肯定錯了，實際上卻是對的（佯謬）；2.一種論斷看起來好象肯定對了，實際上卻錯了（似是而非）；3.一系列理論看起來好象無懈可擊，卻導緻了邏輯上自相矛盾。

悖論有點象變戲法，人們看完以後，幾乎沒有一個不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎麼搞成的？”當把技巧告訴他後，他便不知不覺地被引進深奧而有趣的數學世界中。

著名的《科學美國人》雜志社編的《數學悖論奇景》中，有不少生動而奇妙的題目，下面幾則便選自其中。有的題目作了簡略的分析，有的隻提出問題，留侍讀者去思索。

1.唐·吉诃德悖論

小說《唐·吉诃德》裡描寫過一個國家，它有一條奇怪的法律，每個旅遊者都要回答一個問題：“你來這裡做什麼？”回答對了，一切都好辦；回答錯了，就要被絞死。

一天，有個旅遊者回答：“我來這裡是要被絞死。”

旅遊者被送到國王那裡。國王苦苦想了好久：他回答得是對還是錯？究竟要不要把他絞死。如果說他回答得對，那就不要絞死他——可這樣一來，他的回答又成了錯的了！如果說他回答錯了，那就要絞死他——但這恰恰又證明他回答對了。實在是左右為難！

2.梵學者的預言

一天，梵學者與他的女兒蘇耶發生了争論。

蘇椰：你是一個大騙子，爸爸。你根本不能預言未來。

學者：我肯定能。

蘇椰：不，你不能。我現在就可以證明它！

蘇椰在一張紙上寫了一些字，折起來，壓在水晶球下。她說：

“我寫了一件事，它在3點鐘前可能發生，也可能不發生。請你預言它究竟是不是會發生，在這張白卡片上寫下‘是’字或‘不’字。要是你寫錯了，你答應現在就買輛汽車給我，不要拖到以後好嗎？”

“好，一言為定。”學者在卡片上寫了一個字。

3點鐘時，蘇椰把水晶球下面的紙拿出來，高聲讀道：“在下午3點以前，你将寫一個‘不’字在卡片上。”

學者在卡片上寫的是“是”字，他預言錯了：“在下午3點以前，寫一個‘不’字在卡片上”這一件事并未發生。但如果他在卡片上寫的是“不”呢？也還錯！因為寫“不”就表示他預言卡片上的事不會發生，但它恰恰發生了——他在卡片上寫的就是一個‘不’字。

蘇椰笑了：“我想要一輛紅色的賽車，爸爸，要帶鬥形座的。”

3.意想不到的老虎

公主要和邁克結婚，國王提出一個條件：

“我親愛的，如果邁克打死這五個門後藏着的一隻老虎，你就可以和他結婚。邁克必須順次序開門，從1号門開始。他事先不知道哪個房間裡有老虎，隻有開了那扇門才知道。這隻老虎的出現将是料想不到的。”

邁克看着這些門，對自己說道：

“如果我打開了四個空房間的門，我就會知道老虎在第五個房間。可是，國王說我不能事先知道它在哪裡，所以老虎不可能在第五個房間。”

“五被排除了，所以老虎必然在前四個房間内。同樣的推理，老虎也不會在最後一個房間——第四間内。”

按同樣的理由推下去，邁克證明老虎不能在第三、第二和第一個房間。邁克十分快樂，他滿懷信心地去看門。使他驚駭的是，老虎從第二個房間跳了出來。

邁克的推理并沒有錯，但他失敗了。老虎的出現完全出乎意料，表明國王遵守了他的諾言。也許，邁克進行推理的本身就與國王關于老虎“料想不到”的條件發生了矛盾。迄今為止，邏輯學家對于邁克究竟錯在哪裡還末得到一緻意見。

4.錢包遊戲

史密斯教授和兩個學生一道吃午飯。教授說：“我來告訴你們一個新遊戲。把你們的錢包放在桌子上，我來數裡面的錢。錢少的人可以赢掉另一個錢包中的所有錢。”

學生甲想：“如果我的錢多，就會輸掉我這些錢；如果他的多，我就會赢多于我的錢。所以赢的要比輸的多，這個遊戲對我有利。”

同樣的道理，學生乙也認為這個遊戲對他有利。

請問，一個遊戲怎麼會對雙方都有利呢？

5.一塊錢哪兒去了？

一個唱片商店裡，賣30張老式硬唱片，一塊錢兩張；另外30張軟唱片是一塊錢三張。那天，這60張唱片賣光了。30張硬唱片收入15元，30張軟唱片收入10元，總共是25元。

第二天，老闆又拿出60張唱片。他想：“如果30張唱片是一塊錢賣兩張，30張是一塊錢賣三張，何不放在一起，兩塊錢賣5張呢？”這一天，60張唱片全按兩塊錢5張賣出去了。老闆點錢時才發現，隻賣得24元，而不是25元。

這一塊錢到哪兒去了呢？

6.驚人的編碼

外星的一位科學家基塔先生，來到地球收集人類的資料，遇到了赫爾曼博士。

赫爾曼：“你何不帶一套大英百科全書回去？這套書最全面地彙總了我們的所有知識。”

基塔：“可惜，我帶不走那麼重的東西。不過，我可以把整套百科全書編碼，然後隻要在這根金屬棒上作個标記，就代表了百科全書中的全部信息。”真是再簡單不過了！

基塔先生是怎樣做到的呢？

基塔：“我先把每個字母、數字、符号，都用一個數來代表，零用來隔開它們。例如cat一詞就編為3－0－1－0－22。我用高級袖珍計算機快速掃描，就能把百科全書的全部内容轉變為一個龐大的數字。前面加一個小數點，就使它變成了一個十進制的分數，例如0.2015015011……

基塔先生在金屬棒上找到了一個點，這個點将棒分為a和b兩段，而a／b剛好等于上面那個十進制分數值。

基塔：“回去後，測出a和b的值，就求出了它們的比值；根據編碼的規定，你們的百科全書就被破譯出來了。”

這樣，基塔離開地球時隻帶了一根金屬棒，而他卻已“滿載而歸”了！

7.不可逃遁的點

帕特先生沿着一條小路上山。他早晨七點動身，當晚七點到達山頂。第二天早晨沿同一小路下，晚上七點又回到山腳，遇見了拓撲學老師克萊因。

克萊因：“帕特，你可曾知道你今天下山時走過這樣一個地點，你通過這點的時刻恰好與你昨天上山時通過這點的時刻完全相同？”

帕特：“這絕不可能！我走路時快時慢，有時還停下來休息。”

克萊因：“當你開始下山時，設想你有一個替身同時開始登山，這個替身登山的過程同你昨天登山時完全相同。你和這個替身必定要相遇。我不能斷定你們在哪一點相遇，但一定會有這樣一點。……”

帕特明白了。你明白了嗎？

8.橡皮繩上的蠕蟲

橡皮繩長1公裡,一條蠕蟲在它的一端。蠕蟲以每秒1厘米的穩定速度沿橡皮繩爬行；而橡皮繩每過1秒鐘就拉長1公裡。如此下去，蠕蟲最後究竟會不會到達終點呢？

乍一想，随着橡皮繩的拉伸，蠕蟲離終點越來越遠了。但細心的讀者會想到：随着橡皮繩的每次拉伸，蠕蟲也向前挪了。

如果用數學公式表示，蠕蟲在第n秒未在橡皮繩上的位置，表示為整條繩的分數就是（推導過程從略）：

當n足夠大（約為e100000）時，上式的值就超過了1，也就是說蠕蟲爬到了終點。

9.棘手的電燈

一盞電燈，用按鈕來開關。假定把燈擰開一分鐘，然後關掉半分鐘，再擰開1/4分鐘，再關掉1／8分鐘，如此往複，這一過程的末了恰好是兩分鐘。

那麼，在這一過程結束時，電燈是開着，還是關着？這個問題實在是難！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!