如果從日本東京挖一條隧道,把地球挖通,穿過地心,到達阿根廷的布宜諾斯艾利斯.又假設地球可以看成質量分布均勻的規則球體、隧道中沒有空氣阻力,那麼一塊石頭無初速地落入隧道它能從東京掉到布宜諾斯艾利斯嗎 ?

為了回答這一問題,首先要弄清楚地球對處在地球内部的物體的萬有引力作用，容易出現的錯誤主要有兩種:一種是認為地球對放在地球内部(包括在地球球心處)的物體的萬有引力和放在地球表面時的萬有引力一樣大，即

，從而認為石頭作自由落體運動，過地心後再作與先前自由落體運動過程可逆的勻減速直線運動；一種是認為計算地球對處于其内部的物體的萬有引力，和計算地球對放在其外部的物體的萬有引力一樣，都可以認為地球的質量M集中在其中心。這樣地球質心和放在地球内部的物體間的距離r越來越小,從而由

的适用條件沒有理解清楚,雖然萬有引力普遍存在于萬物之間,但其計算公式

的适用卻是有條件的。嚴格說來,表達式

，隻能用來計算兩質點間的萬有引力，當物體不能被看作質點時,公式則不再成立。當分析地球對處于其内部的石塊的萬有引力時，地球已不可以視為一個質量集中于其中心的質點。事實上，當物體處于地球中心的時候，可将組成地球的物質看成是由許多質量小塊（可視為質點）組成的，由于地球可以看成是一質量分布均勻的圓球體,而球又是具有對稱性(即以球心中心對稱)的幾何體,所以無論在地球内何處任取一質量為Δm的質量小塊,在過Δm的直徑上位于球心的另一側必能找到質量等于Δm并和Δm對稱的質量小塊Δm/，如圖1所示。這兩個對稱的質量小塊對放在球心處的物體的萬有引力大小相等,方向相反,因而它們對物體的萬有引力的合力為零，将地球的一半分成無數多個質量為Δm的質量小塊，在另一半球總能找到分别與之對稱的無數多個Δm/，即整個地球對放在球心處的物體的萬有引力為零。當物體處于地球内任意一點時所受到的萬有引力，應将地球分成許多質量小塊,把每一質量小塊看成是一個質點, 求出每個質點對物體的萬有引力,然後再求出這些力的矢量和，從而得出地球對物體的萬有引力。

嚴格地講,中學階段是無法計算地球内部任一位置的萬有引力的，後續的學習可以證明：設地球半徑為R，當物體位于地球内部距離球心為x處（如圖2所示）時，物體所受到的地球的萬有引力方向指向地心、大小為

，對于質量一定的石塊

為一定值，取地心為零位移參考點，則石塊在隧道中的受力具有方向與位移方向反向，數值與x大小成正比的特點，即隧道中石塊的受力滿足了物體做簡諧振動的動力學條件，回複力（此處即為萬有引力）F回= —k x , 其中

。

所以石塊在隧道中以地球球心為平衡位置、地球半徑R為振幅作簡諧振動，能從地球的一端到達另一端。由于

普适于簡諧振動的物體運動周期的計算，所以石塊的運動周期為

代入數據可得：T ≈5000 秒

本文的讨論限于高中物理知識基礎之上的理想化物理模型，是對于高中課堂知識的拓展，主要是想幫助學生正确理解萬有引力定律和簡諧運動公式，如給您帶來困擾，表示歉意！更多高中物理資源請關注wzmshsl

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