關于虛數的曆史，上篇文章我們講到，韋塞爾慧眼識圖，首次提出複平面的概念，把虛數領入數學的大舞台，從此，複數成了數學中不可缺少的工具，在這篇文章當中，我們将向你展示虛數的魅力，用虛數來輕松解決實數領域的難題。

當然，我們也少不了其中的曆史故事。

首先要提到的是偉大的數學家和哲學家——萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）。

萊布尼茨

如果你注意了我前一篇文章的各個時間點，你會知道萊布尼茨處在邦貝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）用負數的開根号做運算，和韋塞爾（Caspar Wessel，1745-1818）提出虛數的幾何意義之間。

萊布尼茨可是一位了不起的數學家，他和牛頓一樣獨立發明了微積分，至于誰優先至今沒有定論，一般我們認為他們兩人共同創立了微積分，那麼他對虛數是如何看待的呢？

萊布尼茨得到的等式

“我想不起曾看到過一件從各方面分析都比這更為神奇和匪夷所思的事了，因為我認為我是把虛假的數，化解成實數的第一人……但我不理解，一個虛假的數或者說不可能的數，表示出來的量，怎麼會是實數。”——然而這些疑惑，現在對于一位優秀的高中生來說，都是理所當然的。

如果你知道邦貝利在100多年前就做了同樣的事，你會發現萊布尼茨居然“炒起了冷飯”，當然，這裡我并不是貶低萊布尼茨，而是說明了萊布尼茨的結交面很窄，甚至可以說，他對當時的數學領域達到何種程度知之甚少，但這并不阻礙他對數學的貢獻。

萊布尼茨去世後八十多年，韋塞爾才提出了複平面的概念，可韋塞爾并非職業數學家，那他為何能看穿虛數後面的真相呢？

這或許是他特殊的職業造就的機緣巧合成就了他的發現，韋塞爾是一位測繪人員，每天都要和測量、尺度、坐标（此時笛卡爾提出坐标系已有100多年）打交道，每天和坐标的接觸或許啟發了他，在我們看來，把虛數作為垂直于實數的另外一軸是理所當然的，但把虛軸立起來，的的确确耗費了數學家200多年，而韋塞爾是當之無愧的第一人。

複數的表示，一共有兩種方式：複平面坐标和極坐标。

複數的平面坐标表示

平面坐标換算成極坐标

一旦我們有了極坐标的概念，那麼虛數單位的複平面表示方式（0，i）我們還可以表示成：

虛數單位的極坐标表示

這個表示方式實在太重要了，以至于我們用實線圍起來，因為這将引出一個非常實用的概念：輻角θ。

因為輻角有個非常好的性質，我們稱之為：棣莫弗定理——指兩個複數的乘積，等于其模相乘和輻角相加。（用三角函數形式表示為Z1=r1(cosθ isinθ），Z2=r2(cosφ isinφ），則：Z1*Z2=r1*r2[cos（θ φ） isin（θ φ）]

這個定理比韋塞爾的發現要早，是法國數學家棣莫弗(1667-1754)最先創立，雖然我們可以由韋塞爾的複平面概念輕松推導出來，但棣莫弗那時候還沒有複平面的概念。

這就意味着，我們對高次幂和開方的運算将簡便很多，比如：

（0.3 2.6i）^17=（2.61725）^17（83.418度×17）=12687322∠1418.1061度。

如果沒有棣莫弗定理，那麼對複數的自乘17次，我們需要對0.3 2.6i進行17次相乘，其繁瑣程度讓人崩潰。

我們還能用這個性質來做什麼呢?——這是一個産生三角函數恒等式的超級加工廠！

想必大家還記得，高中時候，數學老師講解正餘弦的複合角公式吧，老師畫了一個圓，标注了一堆輔助線和符号，相信大部分人當時是懵逼的。

今天，就讓我來給大家看看，最簡單的推導辦法。

根據輻角原理，對于單位長度的2個複數相乘就有：

恒等式

那麼寫成三角函數形式就是：

三角函數

隻需要把左邊按照分配率展開，然後實部與實部相等，虛部與虛部相等，我們立馬就得到：

正餘弦求和公式

這是這個公式最簡單的推導方法，怎麼樣？比起以前數學老師教的辦法是不是快很多。

不止于此，同樣的辦法我們還可以繼續使用：

三倍角公式

兩邊展開，然後實部與實部相等，虛部與虛部相等，我們立馬就會得到正餘弦的三倍角公式，屢試不爽，繼續下去，四倍角，五倍角公式都不在話下。

其實，你還可以用虛數來做更多事，很多與圓周率有關的級數，我們都能用這個性質輕松推導出來，比如：

我們利用（2 i）（3 i）=5 5i

立馬得到：arctan1/2 arctan1/3=π/4

然後左邊按照泰勒級數展開，就得到一個關于圓周率的級數，這樣的實例多得不得了，在沒有虛數之前，推導出這樣的級數是不容易的。

從虛數的發展史，我們看到，虛數經曆了數學家的排斥，再到發現它的作用，再到理解它，最後發展出複變函數，花了差不多300多年，我們站在無數“巨人”的肩膀上，才得以有了現在的“理所當然”，但其中的艱辛和坎坷，又有多少人知曉！

由于篇幅有限，在我就不舉更多例子了，這篇内容是應讀者朋友們的需求，寫的一篇虛數為基礎的科普文，可能涉及一點複數的專業内容，需要一定數學基礎才能全部理解，有興趣的朋友們，還請自行去查閱相關文獻，文獻中會有更詳細的介紹和解釋。

好啦！以上就介紹到這裡，有興趣的讀者朋友，可以點擊關注我們，也給我們留言。

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