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賦值法求多項式的系數之和公式

生活 更新时间:2024-09-07 19:53:23

最近,筆者看到網上讨論求解這麼一道題目:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)1

通常,這類題屬于二項式定理的系數和問題,一般采用賦值代入的方法來解,解法如下:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)2

但這道題沒法使用這類方法,因為系數的下标間隔是3,那怎麼求呢?我們來看另一道類似的題目及其解法,題目如下:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)3

證明過程如下:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)4

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)5

這裡,使用了對1的立方根賦值的方法來解答。這類題目可以不是證明題,而是計算求值:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)6

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)7

除了系數比較“整齊”的,還可以計算系數“不整齊”的,如下:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)8

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)9

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)10

這種使用1的立方根賦值的方法,在幂級數中也經常使用,比如下面這道英國的題目:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)11

這道題目可以使用解微分方程來求解,這裡使用幂級數賦值方法:

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)12

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)13

賦值法求多項式的系數之和公式(從二項式定理中的賦值求系數的和到幂級數的賦值求和)14

所以,可以認為前面求組合數的方法其實就是這種幂級數求和的特例。筆者覺得看到這裡,大家應該也知道開頭那個題目如何求解了,可以嘗試一下!

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