作函數圖像的一般步驟如下：

1、求函數的定義域；

2、考察函數的奇偶性、周期性；

3、求函數的某些特殊點，如與兩個坐标軸的交點，不連續點，不可導點等；

4、确定函數的單調區間，極值點，凸性區間以及拐點；

5、考察漸近線；

6、畫出函數圖象。

下面以函數f(x)=三次根号(x^3-x^2-x 1)為例，讨論它的性質和形态，并作出它的圖像。

分析：1、按一般步驟，第一步先判斷它的定義域，顯然，這個函數在全域R上都是有定義的。

2、考察f(x)的奇偶性和周期性，不難發現，這個函數既沒有奇偶性，也不存在周期性。實際上，這樣的函數的圖像畫起來更加麻煩。

3、接下來求函數的某些特殊點。為此，對根号内進行因式分解為：(x 1)(x-1)^2. 不難發現：

f與x軸有兩個交點，分别是(-1,0)和(1,0). 而當x=0時，f(x)=1，所以f與y軸有一個交點(0,1). 可以先把這些交點标志在坐标系中。

又f在R上連續，且在這裡可以提前發現，f在x=-1和x=1兩個點上不可導。如果發現不了，下面求導之後也可以發現。

4、第四步是核心步驟，之所以把單調性、極值點、凸性區間以及拐點放在一起研究，是因為它們都與導數有關，甚至與二階導數有關。

對函數求導，這個過程是略有些複雜的，結果得到f'(x)=(3x 1)/(3倍三次根号(x 1)^2(x 1)).

由這個導數，可以發現，當x<-1/3或x>1時, f’(x)>0, 所以f單調增；當-1/3<x<1時, f’(x)<0, 所以f單調減；而x=-1/3是函數的一個穩定點。又由極值第一充分條件可以知道。(-1/3,2倍三次根号4 /3)是函數的極大值點，而(1,0)是極小值點。可以把這兩個極值點先标在坐标系中。

又由f'(x)的表達式可以看出，f在x=±1有豎直的切線.

繼續求二階導數f"(x)=-8/(9倍三次根号((x 1)^5(x-1)^4)，這個過程是真有夠複雜的哦。不難發現，在(-∞,-1)上，f"(x)>0，所以f是下凸的,即凹的；在(-1, ∞)，f"(x)<0，所以f(x)是上凸的. (-1,0)就是f唯一的拐點。

5、現在來到畫圖像的準備工作的最後一步，就是求函數的漸近線。這個函數很明顯是沒有豎直漸近線的。設它有斜的漸近線y=ax b, 那麼a=lim(x->∞)(f(x)/x)=1. b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=-1/3. 所以f有漸近線y=x-1/3. 求漸近線以及極限的知識你還記得嗎？

在坐标平面上先畫出這條漸近線，因為它是畫原函數圖像的一個基線。

上面分析的内容很多，如果你看起來有點亂的話，可以制作成如下的表格形式，幫助理解，有助于畫函數的圖像：

根據上表，結合函數的漸近線，就可以畫出原函數的圖像如下：

這個圖像有沒有出乎你的意料，像一個章魚腦袋，有沒有一種長得很醜的感覺呢？

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