随機變量的期望和方差反映的是随機變量自身的一維分布特征。然而一維特征之外，随機變量之間可能存在着種種相關關系。比如人的身高與體重，氣象的溫度與濕度，商品的廣告費用與銷量等等。有沒有數字特征來反映變量間的這種二維關系呢？下面我們就來談談描述随機變量之間相關關系的數字特征。

我們知道兩個變量的協方差就是一個二維數字特征：

但協方差的取值受兩個變量各自的量綱影響，數字的意義并不明顯，我們隻知道獨立的随機變量，協方差為零，其他的關系呢？無法從協方差的數字中直接讀出。

今天我們将提出一種方法，對協方差進行無量綱化的修正。會有什麼樣的結果呢？

我們采用的方法就是對變量進行标準化處理。

如果随機變量X的方差DX存在，且DX>0,則稱

X*= (X-EX)/√DX為X的标準化随機變量。我們看到标準化處理就是對原随機變量減其期望再除上其根方差。

由期望方差的運算性質我們可得:

EX*=0

D X*=1

數值如此簡單，難怪X*被稱為标準化變量。

通過标準化處理任意的随機變量，都轉換成了期望為零，方差為1的标準化變量。

标準化的目的就是消除量綱希望以及方差的不同，對數據比較所造成的影響。

在綜合評價中，标準分就是一個重要指标。

例如某次考試後，語文和數學的成績都為均值80的正态分布。

但語文的方差為9，數學的方差為4；甲同學語文80分，數學86分。乙同學數學80分，語文86分。

從總分來看，兩人總分相同。請問你覺得他們的能力是否也相同呢？兩個86分，由正态分布的3σ原則，數學的86分是不是更加不易？是不是較語文的86分含金量更高？如何體現這種差異呢？對了，标準化處理。

我們分别計算兩個86分對應的标準化成績。

y^*=(86-80)/3=2；

x^*=(86-80)/2=3

減期望再除上根方差，數學的标準分就比語文的标準分高，而單純的總分沒能體現出這樣的差别。

所以标準化的思想在綜合評價中，特别是分布差異較大的指标時，是一個重要的處理方案。

既然随機變量标準化後，消除了量綱上的差異。那标準化變量X*與Y*的協方差就是兩個變量二維特征的本質體現。

我們稱X*與Y*的協方差為原變量X 與Y 的相關系數。

即為ρ（X,Y）=cov(X*,Y*)。

由協方差的運算性質:

那相關系數能不能較好的反映随機變量x 與y 之間的關系呢？我們來研究一下相關系數的性質。

相關系數的取值在-1到1之間。

證明:

令X*= (X-EX)/√DX，Y*= (Y-EY)/√DY,則

由于X*與Y*都是标準化變量，方差為1，協方差即為相關系數ρ（X,Y）。

由于方差總是大于等于0的，所以解不等式有2ρ(X,Y)≥-1；

同理由差的方差公式：

解不等式2ρ(X,Y)≤1。

從這個性質之相關系數取值以零為中心，左右對稱，以±1為界。

那相關系數取不同的值都代表了什麼意思呢？

ρ(X,Y)等于±1的充要條件為X與Y 以概率為1完全線性相關。

即 Y與X有線性的函數關系:

證明:

從剛才性質一的證明過程之相關系數等于1時,等價于D(X*-Y*)=0

而方差為零的變量将以概率1取值于他的期望。

由于X*與Y*為标準化變量，所以X*-Y*的期望為零，即以概率1有X*-Y*等于零。

P{ X*-Y*=0}=1即X*=Y*

P((X-EX)/√DX=(Y-EY)/√DY)=1,即=(X-EX)/√DX = (Y-EY)/√DY

同理，當ρ(X,Y)等于-1時。等價的有P{ X*=-Y*}=1。

表明ρ（X,Y）絕對值等于1時，X 與Y 具有最大的線性相關關系。

ρ（X,Y）=1時:

Y可以表示為X 的斜率為正的線性函數。

ρ（X,Y）=-1時：

Y 可以表示為X 的斜率為負的線性函數。

ρ（X,Y）=0時，表示X 與Y 沒有一點兒線性相關的關系，稱為X 與Y不線性相關。

ρ（X,Y） 不等于零時，表示X 與Y有部分的線性相關性，稱X 與Y線性相關。其中，若大于零為正相關若小于零為負相關。ρ（X,Y）的絕對值的大小反映了相關性程度的大小。如越接近于1。表示Y 越接近于X 的正系數的線性表達；如越接近于-1表示Y越接近于Y 的負系數的線性表達。若越接近于零，表示Y 與X 的線性表達程度越來越弱，直到完全沒有線性關系。

X與Y·1 獨立則協方差為零，從而相關系數也為零。所以獨立則不相關,反之則不然。雖然X與Y不相關，不具有線性關系,但可能存在非線性的關聯,那就不是獨立的了，所以獨立與不相關，并不等價。

但正态分布是一個特例，獨立與不相關是等價的。

對于二維正态随機變量

（X、Y）~N(μ1,μ2​,σ12​,σ22​,ρ)，其中中的參數ρ，可以證明它就是X、Y 的相關系數。

由二維正态分布的性質。X、Y獨立的重要條件是ρ等于零，即X、Y不相關。

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