這是《機器學習中的數學基礎》系列的第20篇，也是概率與統計的第4篇。

一說起期望值，可能有的人會很陌生；但一說起平均數，可能大部分人都了解。其實求期望和求平均之間還是有那麼一些關系的。

• 期望

我們先來舉個例子，讓你對期望有直觀的理解。

假設我有1個不均勻的六面體，每個面标了一個數字，分别是1、2、3、4、5、6。如果我将此六面體向上抛出，那麼落地時向上一面的概率如下表所示：

顯然，上述的概率之和為1。那麼此六面體向上一面的期望是什麼呢？

我們是這樣計算期望的：把每個面出現的概率乘以每個面的數字，然後算它們的加和。即：

1·1/6 2·1/3 3·1/6 4·1/12 5·1/12 6·1/6=37/12

因此，上面這個六面體落地時正面朝上的期望就是37/12，換算成整數約等于3.

不均勻的算出來了，那如果是均勻的六面體呢？它落地時向上的一面的期望又是什麼呢？

很簡單，由于是均勻的六面體，那麼每個面朝上的概率都是1/6。因此，總的期望就是1/6（1 2 3 4 5 6）=21/6=3.5。此時，就相當于我們求了1-6的平均數。

換句話說，如果每個數字出現的概率是相等的，那我們就相當于求的平均數；如果每個數字出現的概率是不等的，那我們就在求期望。我們一般用“E”來表示期望。

• 方差

我們還是來舉例說明什麼是方差。

假設小明期末考試考了6門課，他的成績分别是60,78,77,90,92,83。那麼小明成績的方差該怎麼算呢？

我們需要先算出小明的平均成績：（60 78 77 90 92 83）/6=80。

然後，分别用小明每一門課的成績減去平均成績，求出差的平方，再算出這些平方的平均值。即

[(60-80)^2 (78-80)^2 (77-80)^2 (90-80)^2 (92-80)^2 (83-80)^2]/6=111。

我們把這個結果就叫做方差。把它一般化， 假設有x1、x2...xn一共n個數據，它們的均值是μ，那麼方差就可以表示為：

有時候分母的n也會換成n-1，取決于它是樣本數據還是整體數據，不過對我們的結果影響不大。

那麼方差有什麼意義呢？它所表示的是數據的波動程度，更具體的說，它表示的是數據與均值之間的離散程度。方差越大，表明數據越分散，離均值的平均距離遠；方差越小，表明數據大多集中在均值周圍。

• 标準差

标準差就是方差開方得到的結果，即

那這麼做有什麼意義呢？注意到，我們的方差是求了平方的，如果我們的數據是有單位的話，最後的結果将是單位的平方，對這個結果不是很好解釋。比如上面小明成績的方差是111，單位是“分”的平方。我們就會感到很奇怪。

将方差開方後，單位就變成了原來的單位，那麼結果就很好解釋了。可以得出，小明成績的标準差約為10.5分。也就是說，小明的成績與均值的差距平均在10.5分。

标準差同樣衡量數據的波動狀況，隻不過它的結果很好解釋。

好了，這就是今天的全部内容，歡迎留言讨論。

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