單刀直入，三角函數系1，cos x，sin x，cos 2x，sin 2x，cos 3x，sin 3x，…，cos nx，sin nx，…有一個非常重要的性質：他們當中任意兩個不同的函數的乘積在區間[-π，π]上的積分等于0。即
而兩個相同函數的乘積在區間[-π，π]上的積分不等于0。除了1×1在區間[-π，π]上的積分等于2π，sin nx乘以sin nx和cos nx乘以cos nx在區間[-π，π]上的積分都等于π，此處n為大于0的自然數。即
正是因為知道了這個性質，當把函數展開成傅裡葉級數時，傅裡葉系數的确定就變得簡單多了。
假如一個以2π為周期的周期函數f(x)，能展開成傅裡葉級數，如下
當然對于這個函數能展開成傅裡葉級數的條件，并不是我們今天讨論的重點，我們隻是假設其能展開成傅立裡級數，隻是不知道傅裡葉系數a₀，a₁，b₁，a₂，b₂…的值是多少，想求之。
我們想求aₙ，隻要令f(x)乘以cos nx，在區間[-π，π]上的積分一下就會得到一份驚喜。（其中想求a₀得讓f(x)乘以cos0即1）
我們想求bₙ，隻要令f(x)乘以sin nx，在區間[-π，π]上的積分一下同樣會得到一份驚喜。
這樣我們就求得了傅裡葉系數。
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