人們常說,繪畫是空間的藝術,音樂是時間的藝術。繪畫是顔色在空間中渲染,音樂是音符沿着時間流淌。而頻譜是把聲音中的頻率沿着頻率展開排列,并繪制成圖像,就像陽光穿過三棱鏡色散成七色光譜。各種各樣的樂器、歌聲都會産生出獨特的頻譜圖,普通話中一二三四聲的聲調甚至會在頻譜圖畫出抑揚頓挫的圖案。
撰文 | 吳進遠(美國費米國家加速器實驗室)
上周晚自習之後,我和我暗戀的女神珍旭班長,一起看了她爺爺在她小時候給她講的睡前故事傅立葉變換的視頻。不過,視頻中還留下了許多且聽下回分解的地方。又一天晚自習之後,我問珍旭班長:“你爺爺後來有沒有給你講頻譜呀?”
“當然講了。給小朋友講睡前故事,每次不可能講太多内容,因此複雜的話題就必須分成好幾次來講。”珍旭班長說着又找出一個視頻,打開和我一起看。
1 各種樂器的頻譜
“我是熊貓,我吃竹子,我要唱《五指歌》。”
“一二三四五,上山打老虎。(老虎!老虎!老虎!老虎!)……”
“今天,我們講頻譜。”爺爺說:“漢語中,譜是個很常用的字,它的意思是根據事物的類别或系統排列編制的表冊、書籍或繪制的圖形等等。比如家譜族譜,是按照輩分排列,記錄家庭成員的文本。”
“我們彈鋼琴或者唱歌用的樂譜是按什麼排列的呢?”小珍旭問。
“樂譜是按照時間次序,把每個節拍中演奏演唱的音符記錄下來的一種文稿。”
小珍旭舉起熊貓晶晶:“爺爺,晶晶不懂。請爺爺,用熊貓和竹子作為例子,給晶晶再講一講。”
“在大熊貓繁育中心,有熊貓的食譜。食譜是按照時間順序,把大熊貓每餐吃多少竹子,添多少窩頭蘋果胡蘿蔔開列記錄出來的表格。”
“那頻譜是什麼?”
“頻譜是把一個聲音中存在的頻率成分按照頻率排列的圖。我們常說的光譜其實是一種電磁波的頻譜。光譜是按照顔色,也就是說光的波長或頻率,記錄下來的光強度分布。”爺爺說着,打開電腦,啟動一個軟件。然後拿起一把小提琴,對着電腦話筒,拉出一個穩定的長音,電腦上顯示出一個頻譜。(現在手機上也有可以生成頻譜的應用軟件。)
小提琴的頻譜
“這個音是E,就是C調裡的咪,它是用小提琴最細那根弦空弦演奏的,頻率大約659赫茲。”爺爺解釋道:“你看,頻譜上顯示出許多尖峰,最左邊那個是基頻,然後是2、3、4、5倍頻等等。正是這些倍頻泛音,決定了小提琴的音色。”
“我想看看我的小口琴的頻譜。”小珍旭說着,拿起口琴,對着電腦話筒吹出一個長音,也是C調裡的咪。電腦上顯示出另一個頻譜。
口琴的頻譜
“成功啦,成功啦。”小珍旭高興地說:“口琴的聲音裡也有基頻和高倍頻泛音。”
“你看看口琴和小提琴的頻譜是不是不一樣?”
“是不一樣。”小珍旭仔細觀察:“實際上,兩種樂器前面三個尖峰的比例好像差不多,但是口琴第4、5、6等幾個峰明顯比較高。嗯,好像口琴的聲音确實聽着更亮一點。”
“老師有沒有教過你們用口琴來模拟小提琴?”
“教過。”小珍旭邊說邊演示:“第一,舌頭堵住下排孔,隻讓口琴上面的的簧片振動。第二,手捂住口琴前邊,把口琴聲音悶一點。這樣,口琴聽起來就很像小提琴了。”
“從頻譜上看,用手捂住口琴,就可以讓它的高頻成分衰減得厲害點。我們把口琴第4、5、6等幾個峰壓低一些,它的頻譜就和小提琴非常像了。這實際是用濾波的方法,來改變不同頻率成分的相對強度,以獲得不同的音色。”
2 挖一挖波形上的山峰
珍旭班長又找出一個視頻打開。
“我是熊貓,我吃竹子,我要唱《五指歌》。”
“一二三四五,上山打老虎。(老虎!老虎!老虎!老虎!)……”
“我們昨天見到的樂器頻譜裡都有那麼多峰,有沒有隻有一個峰的樂器?”小珍旭問到。
爺爺轉身拿起一個小方盒,按了一個開關,方盒發出嗚嗚的叫聲。
“這個小方盒是信号發生器,它可以發出正弦波信号,正弦波在頻譜上隻有一個峰。”
正弦波的頻譜
“正弦波的波形看起來像是平靜池塘水面上微小的波浪,很均勻,也很平滑。它的聲音聽起來很純淨,好像一點雜質都沒有一樣。”
“所以音樂家管正弦波叫做純音。當然,如果用純音來演奏音樂,就顯得太單調了。此外,自然的發聲體很少能發出絕對的純音,因此,我們現在見到的樂器在頻譜上都有很多峰。”
“要是把正弦波的波形改變一下,它的頻譜會是什麼樣呢?”
爺爺搬動小方盒上的一個開關:“我們把正弦波的山峰堆高一點,低谷挖成尖尖的槽,讓它變成三角波,這時我們就看到頻譜上增加了一些尖峰。”
三角波的頻譜
“三角波和正弦波差得不太多,所以新增加的這些峰比基頻那個峰矮不少,而且一個比一個矮。”
“咦,好奇怪。”小珍旭指着三角波的頻譜說:“頻譜上第二個峰頻率好像不是第一個峰的二倍。”
“你算算是多少倍?”
“好像是3倍。後面一個峰的頻率是基頻的5倍。再後一個是7倍。為什麼新增加的這些高次倍頻裡沒有2、4、6倍頻呢?”
“這是因為三角波平移半個周期波形是正負反轉的。當你站在任意一個山峰或者山谷,向左看和向右看,看到的波形是相同的。”
爺爺又搬動小方盒上的開關:“我們要是把三角波的山尖鏟平,把山谷填平,就得到梯形波。要是再進一步把山坡修得很陡,就得到方波。這種方波和正弦波差得更遠,因此頻譜裡的高頻成分就相對比較高了。”
方波的頻譜
“方波也是正負反轉的,所以也隻有奇數倍頻。”
“方波的聲音聽着像是單簧管。”小珍旭評論道。接着又問:“這些峰之間長出的小草是什麼?”
“這是因為方波波形在跳上和跳下的時候,速度非常快。系統裡的電子器件跟不上,就可能産生一些失真。這些失真會在頻譜上産生一些強度不太大的頻率成分,就是這些小草。”
爺爺再次搬動小方盒上的開關:“現在,我們保持方波的一邊不變,把另一邊修理成緩慢下降的山坡。這時,我們得到一個鋸齒波。”
鋸齒波的頻譜
“鋸齒波不是正負反轉的了,因此,頻譜裡出現了2、4、6、8等等的偶數倍頻的尖峰。”
3 譜 圖
珍旭班長又找出一個視頻打開。把“一二三四五,上山打老虎”這部分跳了過去。
“我們這幾天見到的頻譜都單獨一個嗚嗚聲音的,真正演奏的音樂也可以做頻譜分析嗎?”小珍旭問道。
“當然可以。你可以到鋼琴上來彈一個曲子,我們來分析一下這個曲子的頻譜。”
小珍旭穿着睡衣睡褲從被窩裡跳出來,自覺地加了一件衣服,跑到客廳,坐到鋼琴邊。爺爺讓她彈了《一閃一閃亮晶晶》的前兩句,隻彈了右手部分。電腦上得到一個顯示。
“對于自然的聲音,包括用樂器演奏的音樂,我們可以把話筒采集到的聲音切成一小段一小段來做頻譜分析。每一小段時間之間,頻譜都可能發生變化。為了顯示這種變化,我們需要把分析的結果按照時間展開,這樣二維的頻譜就變成了三維的。在上面的圖中,縱坐标是頻率,橫坐标是時間。第三個維度,也就是頻率成分的強度,用不同的顔色來表示,顔色越偏紅,強度越大。這種顯示我們一般叫做譜圖,有的時候有人叫它聲紋圖。”
“哈哈,我看出來了。”小珍旭指着譜圖:“這裡面每一條豎線對應按下鋼琴琴鍵演奏的一個音符。多多嗦嗦啦啦嗦——發發咪咪來來多——”
“你注意看。”爺爺說:“鋼琴演奏的每一個音符,除了最低的基頻,從下往上,還可以看到很多整數倍頻的泛音。”
“可是,”小珍旭問:“除了演奏音樂,或者唱歌,我們一般說話也可以做頻譜分析嗎?”
“可以呀。”爺爺說:“我們漢語普通話有陰陽上去四個聲調,你可以挑幾個有這四聲的字來試一試。”
“一句話裡包含有四個聲調的字?這個好辦。都——來——跑——步——身——強——體——壯——”小珍旭念道。電腦記錄分析了這個段聲音,顯示出一個譜圖。
“真好玩。”小珍旭說:“普通話裡的一二三四聲的聲調,真的就像漢語拼音裡标的那樣,是水平、上升、拐彎和下降。”
“你現在能看出,這個圖上一道一道的條紋了吧?”爺爺說:“所以有的行業的人管這類譜圖叫做聲紋。”
“這些條紋是什麼?”
“我們講漢語時的韻母,或者歐洲語言中的元音是一種周期性的振動,就像樂器演奏一個音符一樣。因此韻母的頻譜,也像樂器一樣,是由基頻和整數倍頻構成的,在譜圖上,是一組從下到上等距離的條紋。”
“這些條紋為什麼會上下拐彎呢?”
“我們說話的時候,聲帶的張緊程度不斷變化,振動的頻率也随着變化,在譜圖上顯現出來,就是條紋的上下拐彎。另外人的口型也在變化,口型變化影響到口腔的共鳴特性,這種共鳴使得不同的頻率成分的相對強度變化。所有這些,使得我們說話的聲音變得可以聽懂。此外,不同的人聲音也因為聲帶與口腔形狀的不同而不同,使得我們從聲音能夠分辨出不同的人。有的情況下,即使說話的人刻意變聲,專家也可能通過說話的譜圖,來辨認說話人的聲音特征。”
“每個人說話的聲音都有它的特征,是不是就像人的指紋一樣?” 小珍旭問。
“對的。所以,譜圖被稱為聲紋圖,也有這麼一層意思。”
叮鈴鈴,電話響了,爺爺按下免提。奶奶那天晚上去單位開會,不放心,特意打來電話,囑咐了很多。爺爺說,“放心吧,小珍旭學習睡覺,樣樣不耽誤。”
電腦把電話内外的聲音分析成頻譜,顯示出了譜圖。
“吼吼吼。”小珍旭舉着熊貓晶晶說:“你們人類喜歡打電話,可是又經常說電話裡說不清。”
“哈哈蛤。”爺爺問:“你覺得什麼說不清呢?”
“電話裡的聲音經常是悶悶的,好像感冒了一樣。尤其是波坡、得特這樣的聲音不容易聽清楚。”
“觀察得很仔細。”爺爺表揚道:“從上面這個譜圖,你就能大概看出原因。”
“前面這一段是電話裡的聲音,好像用剪刀整整齊齊地剪了一下。後面電話外說話的聲音,就沒有這麼一種限制。”
“是的,我們現在用電話系統,把語音信息做了濾波,隻有 3600 Hz 之下的頻率成分可以通過,3600 Hz 以上的頻率成分統統阻擋出去,這樣做是為了節約通訊信道資源。本來人類的語言信号中,3600 Hz 以上的頻率成分很少,所以切掉了影響不太大。但這些切掉的高頻成分雖然量不大,但有時卻攜帶比較重要的信息,可能影響通話雙方的互相理解。”
4 為什麼正弦函數那麼牛?
“又在學習兒童睡前故事版呐?”泉餘室友又一次毫無征兆地出現了。
“你又有青年失眠燒腦版的問題了?”珍旭班長問。
“還真有一個。”泉餘室友說。
“那你要請我們倆吃夜宵。”我說。
“你倆?”泉餘室友掩口而笑:“沒問題。”
在校門外茶餐廳一通風卷殘雲之後,泉餘室友抛出了他的問題:“為什麼正弦函數這麼牛呢?”
“在回答你的問題前,你必須把牛的定義講清楚。”我說。
“我們做傅立葉變換、頻譜分析的時候,實質上是把任意的信号看成是許多正弦函數的疊加。數學上,曲裡拐彎的函數有很多,我們為什麼就選中了正弦函數呢?”
“也許,在自然界中,很多物體是按照正弦函數的規律振動的。”我說。
“難道不是因為正弦函數簡單美觀,因此受到人們的青睐?”泉餘室友反問。
“我覺得不是。”珍旭班長說:“數學中,簡單美觀的函數相當多,人們之所以選擇正弦函數,而不是其他曲裡拐彎的函數,恐怕還是受到了自然現象的啟迪。”
“可是,我們印象中,人們想得到正弦波,都是用信号發生器來産生。”泉餘室友仍有些懷疑:“你們說說,在我們周邊50米範圍内,哪些東西會産生正弦波?哦,手機不算哈。”
珍旭班長把高腳杯裡的橙汁喝掉一半,放到桌上,指指高腳杯:“它就能産生正弦波。”
“真的?”
“做個實驗怎麼樣?”珍旭班長說着,拿起一根筷子,“叮——”,輕輕地敲了一下高腳杯。
泉餘室友掏出手機,點開頻譜分析軟件。珍旭班長又敲擊了幾下高腳杯,手機上的軟件顯示出一個譜圖。
“你們看,高腳杯敲響時,存在許多振動模式,不同的振動模式有不同的頻率。”珍旭班長解釋:“可是頻率比較高的那些振動模式衰減得非常快,最後就剩下一個頻率最低的振動模式。因此,隻有經過足夠長的時間,高頻模式衰減光了,杯子的振動就逐漸變成了符合正弦函數規律的簡諧振動。”
我說:“在真實的世界上,也許沒有什麼東西是嚴格按照正弦函數規律振動的。可是,當振動的振幅很小的時候,它們就趨向于簡諧振動。比如單擺、吊燈、秋千等等,振動幅度比較大的時候,它們的振動規律非常複雜。但是在擺動幅度很小的時候,它們的振動規律就非常接近正弦函數了。”
“實際上,我們還可以看看科學史。”珍旭班長說:“牛頓在拿起棱鏡分解太陽光的時候,他并沒有先驗地選擇任何函數。可是,太陽光經過棱鏡,由于色散,分解成了紅橙黃綠青藍紫的光譜。這種光譜,是把白光按照光的頻率分解開來。這實質上說明,白光是以正弦函數為單位,與物質發生作用,從而産生色散的。”
“看起來,以自然現象為師,并不是一句空話。”泉餘室友說。
來源:返樸
編輯:Be
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