求單位圓在點處的切線方程-tft每日頭條

求單位圓在點處的切線方程

生活更新时间:2024-11-28 02:53:34

作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

設是關于的二元有理多項式函數，下文考慮的最值問題。

Part1一、

這裡首先要考慮分母為零的情況，如果可以取到的話，那麼函數在單位圓上不是一個連續函數，排除可去奇點的情況，在處發生爆破，趨于。

如果分母不為零，則函數在單位圓上連續，由于單位圓是閉集，于是連續函數在其上可以取到最大、最小值。

三角換元：

求導

<左右劃動>

整理分子求解極值點方程：

黃金代換：

其中，于是導數分子可化為關于的二次方程：

解二次方程

<左右劃動>

剛好兩個極值點，其中一個是最大值，一個是最小值，所以在單位圓上的取值範圍介于之間。

解的三角函數表示太複雜，還可以考慮用拉格朗日乘數法。

設

這裡解釋一下，我們發現當代入單位圓上的點，，所以問題可以轉化為求的最值，求偏導（和一元函數求極值的原理可以類比）：

極值點方程

不考慮分母為零的情況，則

注意到點在單位圓 x^2 y^2=1 上，所以得到一條直線

再與單位圓方程聯立

得到極值點

最後代回到直線方程即得最值：

求單位圓在點處的切線方程（單位圓上的極值問題）1

求單位圓在點處的切線方程（單位圓上的極值問題）2

觀察圖像我們就可以直觀地明白：由于函數的幾何特性（馬鞍面），它有豎直方向的漸進線，當圓柱靠近馬鞍面中心區域，兩者的交線可能會不閉合，即産生爆破點。而在一般位置，如圖2，交線則是有界閉合曲線，即存在最值。

Part2二、

我們以下述函數為例子。

問題等價于考慮二元函數在滿足條件

下的最值. 拉格朗日乘數法：

滿足上述方程組的點中一定有最值點。

結合條件可化簡為

再代入可以得到方程：

數值解：

解析解：

<左右劃動>

最小值點、最大值點分别為：，求得最值

求單位圓在點處的切線方程（單位圓上的極值問題）3

求單位圓在點處的切線方程（單位圓上的極值問題）4

最後做一點推廣。

對于一般的函數有理多項式函數，求極值的問題都可以如上操作：

得到關系式

因為是有理多項式函數，那麼它的偏導也是有理多項式函數。所以這類問題本質上就是解代數方程，三角關系隻用到了恒等式。如果隻是一次多項式，此時直接利用輔助角公式就好了。

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