高中數學圓錐曲線的解題方法-tft每日頭條

高中數學圓錐曲線的解題方法

教育更新时间:2024-08-04 14:10:08

高中數學圓錐曲線的解題方法（高考數學圓錐曲線中99）1

（全文均為“許興華數學”圖片）

（責編/南甯許興華）

同學們應該都知道，圓錐曲線上四點共圓問題在高考中屢見不鮮，這類試題将圓錐曲線與四點共圓有機地結合在一起，重點考查運算求解能力和推理論證能力，由于問題綜合性強、運算量大，大多考生望而生畏，甚至談“圓”色變，不得不選擇放棄. 筆者曾在文【2】中介紹了構建曲線系方程來處理圓錐曲線上四點共圓的有效方法，在文【3】中給出了圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件，并用直線的參數方程分别對橢圓、雙曲線和抛物線三種情形一一進行了證明，本文筆者再用曲線系方程給出這個充要條件的統一證明，并用這一充要條件來“秒殺”圓錐曲線上四點共圓的高考難題和數學問題.

先用曲線系方程來解決圓錐曲線上四點共圓的一道高考難題，體驗曲線系方程解題的方法和魅力.題目如下：

高中數學圓錐曲線的解題方法（高考數學圓錐曲線中99）2

這是2014年高考全國大綱卷文科第22題、理科第21題，第二問就是一道抛物線上四點共圓問題，參考答案給出的解答是一種常規解法，但運算量非常大，下面我們借助曲線系方程來巧解這道難題.

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下面我們先用曲線系方程給出圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件的統一證明，再用這個充要條件解決有關試題.

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上述定理用文字表述，即斜率均存在的兩條直線與圓錐曲線（圓除外）有四個交點，則四個交點共圓的充分條件是兩直線的斜率互為相反數.這是一個非常簡潔的充要條件，運用這個定理可解決圓錐曲線上四點共圓的

高考難題和數學問題.

對于上面這道高考題的第二問，用定理可簡解如下：

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簡解：由定理知直線CD的斜率k為-3，故選B.

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（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那麼A、B、C、D在同一個圓上，為什麼？

【簡解】：因為直線AB的斜率等于1，所以AB的垂直平分線CD的斜率等于-1，兩直線斜率互為相反數，由定理知A、B、C、D四點共圓.

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曲線系方程是高中數學課本中的内容，用曲線系方程可以有效地解決圓錐曲線上四點共圓難題，解法不僅能被高中生接受和掌握，也能得到高考閱卷人的肯定和點贊，解答題用曲線系方程作答最好.對于選擇題或填空題，由于不需解題過程，若能用本文定理求解效果最佳，往往可以一劍封喉而秒殺之.（文/鄒生書）

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許興華數學圖片

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