網友：一個巨大的小行星以恰好的速度和力度撞擊地球，逼停其繞太陽的公轉。地球要過多久才會跌進太陽？

回答：這個問題有兩種解決方式……一個是咬緊牙關解微分方程，代入數值，得出答案。另一個，是使用已知的量和與軌道相關的知識來解。

圖解：地球在其軌道上的季節點（不按比例）

對太陽沒有角動量的物體的運動方程，描述如下：

r'' = -GM/r2

[G是重力常數，M是太陽質量，r是物體到太陽的距離]

其中質數表示與時間有關的差異，一個會進行兩次積分，第一步是：

r' = - √(2GM) * √(1/r - 1/R)

當R代表距太陽的最初距離時，在這裡它就表示從太陽到地球的距離

圖解：地球到太陽的距離的圖示。

第二次積分需要一點技巧，但還是可行的，它能得出以下方程：

r*R*√(1/r - 1/R) R3/2arctan(√(R/r -1)) =√(2GM)*t

在這裡，t是物體在R距離中運動的時間。現在我們想要找到當r為0時的t值，這實際上比看起來要簡單。左邊的第一項消失了，反正切函數的參數變成了無限大，而無限的反正切值是π/2，經過處理之後，我們得到：

t = √(

2*R3/(8*G*M))

這個到達太陽的時間，有沒有忽略太陽自身的運動和太陽自身的體積呢？

我們如何估算這個值？地球繞太陽運動的周期可以由這個公式得出：

T = √(4*

2*R^3/(G*M))

當然了，這個答案是一年。

圖解：地球軌道（黃色）與圓（灰色）相比

比較這兩個，我們可以發現：

t = T/(4*√(2))

大概是64天零12小時，或者兩個月多一點的時間與這個殘酷的世界告别，然而，到最後可能會很熱。

現在，是另一個，涉及數學更少而偏物理的方法。

我們知道任何軌道的周期都隻與半長軸有關，隻要它是一個橢圓且太陽位于其中一個焦點。

圖解：與地心模型（上面闆）相比的日心（下面闆），不按比例

我們可以将這個問題看成軌道是一個極平的橢圓。将焦點放在一端，而物體從另一端開始運動。所以在這裡我們隻需要計算軌道的半個周期，因為半長軸就是R的一半，如果你繼續算的話會發現。

所以表達式就是：

t = (1/2)*√(4*

2*(R/2)3/(GM))

簡化之後是：

t = (

2*R3/(8*G*M))

與之前的表達式相同。

圖解：季節和地球軌道的一些特征。橢圓的形狀被強烈地誇大了。

另外需要說明的是，小行星的質量在方程中并不考慮，隻要它沒有大到在碰撞後能使地球的質量可以和太陽的質量相提并論，這時候我們才需要在推導過程中考慮太陽的運動。（這可以通過使用減少後的質量來維護，但那又是另一段說法了）

圖解：太陽系重心相對于太陽的運動

你提出的小行星需要自身動量與地球質量乘以軌道速度相同，但方向相反。具體來說就是另一個以18英裡/秒速度運行的和地球大小差不多的物體。質量更小速度更快也可以成立，但是你可以很容易想象，任何這樣完全摧毀兩個物體的碰撞會讓地球幾乎什麼都不剩地飛向太陽。

相關知識延伸閱讀

小行星為微型行星的一種。以太陽系而言，小行星屬于太陽系小天體（SSSB），和行星一樣環繞太陽運動，但體積和質量比行星小得多。廣義的小行星大小介于流星體和矮行星之間，直徑可從數米至1,000公裡不等，包括在這個尺寸下太陽系裡非彗星的所有小天體。

圖解：蓋斯普拉是第一個被拍攝到特寫鏡頭的小行星。

但大部分的小行星都分布于内太陽系，加上外太陽系小天體（如半人馬群和海王星外天體）的物理特性和内太陽系小天體有所差異，因此“小行星”一詞更常被用于專指内太陽系非彗星的小天體。

參考資料

1.Wikipedia百科全書

2.天文學名詞

3. Paul Walorski-physlink- Mike Assad-絡廈零

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