本文為“第三屆數學文化征文比賽

第三章3.3第2課時 利用“去分母”解一元一次方程教學設計

作者: 李懷宇

作品編号：027

一、教學目标

【知識與技能】會根據實際問題建立數學模型，會通過去分母方法解一元一次方程，培養學生數學建模和數學運算的學科核心素養.

【過程與方法】能夠從實際問題中列出一元一次方程，進一步體會方程模型思想的作用及應用價值；

通過去分母解方程，讓學生體會等式變形中的化歸和程序化的思想方法.

【情感态度】讓學生了解數學淵源及輝煌的曆史，激發學生的學習熱情.

二、教學重難點

【教學重點】解含有分數系數的一元一次方程，歸納解一元一次方程的基本步驟，體會建立一元一次方程模型解決實際問題的思想方法.

【教學難點】實際問題中建立等量關系，準确列出一元一次方程，正确地進行去分母并解出方程.

三、課堂實錄

1、溫故知新，鞏固舊知

利用GeoGebra軟件創設的一元一次方程計算答題器，讓學生們課前搶答訓練，日常鍛煉計算準确度和速度。

問題1 上一個課時我們學習了用去括号的方法解方程，你能說一說含有括号的方程如何解？去括号時應注意什麼？

問題2 等式的性質是如何叙述的？

問題3 試求12，4，9的最小公倍數．

【設計意圖】上面問題的提出有助于學生回顧舊知，再對新知産生興趣，符合學生的認知規律．

2.創設情境，引出問題

A組導言1：我國古代名著《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，成于公元一世紀左右，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就．其中有一題：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，問何日相逢？”（凫：野鴨）

B組導言2：英國倫敦博物館保存着一部極其珍貴的文物－紙草書。這是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作，它于公元前1700年左右寫成，至今已有三千七百多年．草片文書中記載了許多有關數學的問題，其中有如下一道著名的求未知數的問題．一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33.這個數是多少？

師生活動：學生根據學情進行分組，統一審題後教師提出問題．

問題4：

1.本題中涉及到哪些量？這些量之間有怎樣的關系？

2.怎樣設未知數，如何用含有未知數的代數式表示這些量？

3.你能根據題目中的相等關系列出方程嗎？

教師展示問題，讓學生思考，獨立完成并列方程和.

【設計意圖】利用《九章算數》和埃及紙草書中有關數學的問題，引出帶有分數系數的一元一次方程，進而讨論用去分母解這類方程，這樣選材可以起到介紹悠久的數學文化的作用。利用方程思想解決實際問題，能讓學生感受方程的實用價值。

3.合作交流，探究方法

問題5：這個方程與前面學過的一元一次方程有什麼不同？

問題6：如何将帶有分數的一元一次方程轉化為“x=a”的形式？

師生活動：教師出示問題，學生思考回答，并嘗試解這個方程，A、B組學生代表将不同的解法利用投影儀展示交流．

【設計意圖】讓學生在已有經驗基礎上，努力嘗試更加簡便的新方法．

師生活動：學生分組讨論之後，教師通過以下問題明确去分母的方法和依據：

問題7：去分母的依據是什麼？

問題8：方程，去分母後的結果是什麼？你會解化簡後的方程嗎？

學生分組讨論後得出結論：

（1）在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數，将系數化成整數；

（2）去分母的依據是等式的性質2；

（3）去分母可以使運算簡便，減少出錯率.

師生共同分析解法：

方程兩邊同乘各分母的最小公倍數42，得

合并同類項，得

系數化為1，得

【設計意圖】通過問題串，引導學生發現問題、解決問題，在學生們通過對一元一次方程不同解法的探索過程中，注重化歸思想的滲透，使學生感受去分母方法的簡便，同時理解去分母的目的和依據，進而自主歸納出去分母的一般方法。

問題9：解方程

思考：

(1).這個方程中各分母的最小公倍數是多少？

(2).方程兩邊應該同時乘以多少？依據是什麼？

(3).方程兩邊同時乘以這個數以後分别變成了什麼？

師生活動：教師展示問題，提出思考問題，師生共同完成如下解答過程。

方程左邊=

方程右邊=

注意：

1.不漏乘不含分母的項；

2.分子是多項式，應添括号.

教師用程序框圖展示解法的基本流程：

學生思考，總結歸納出一元一次方程的一般步驟，師生互動補充.

【設計意圖】學生通過歸納一元一次方程的一般步驟，進而體會化歸的數學思想，在分組讨論的過程中互相幫助，互相補充，加深對去分母運算上的理解，避免出現類似錯誤.

4.運用新知，加深理解

問題10：解下列方程：

(1)

(2)

師生活動：教師提問，學生獨立完成解題過程，然後進行分組讨論交流，對錯解進行分享展示，共同找出錯因，歸納正确方法.

【設計意圖】通過動手實踐，進一步加深對于去分母解法的理解.

變式練習：小明騎自行車從天津之眼到天津站騎行，如果每小時行15km，則比預定時間少用24min；如果每小時行12km，則比預定時間多用15min.那麼預定時間是多少？

問題11：

1.本題是哪一類問題？

2.行程問題涉及到那幾個量？它們之間的關系是什麼？

3.本題的等量關系是什麼？

利用框圖引導思考，同桌互批學習，并利用信息技術（一起學APP）統計本題正确率，精準掌握學情。

【設計意圖】體會模型思想，感受數學源于生活，用于生活，進一步達成學習目标.通過多樣化的學習方式，使學生理解和掌握基本的數學知識和技能，體會和運用數學思想和方法，獲得基本的活動經驗，形成和發展學生的數學核心素養，達成教學目标.

5.課堂小結，反思提升

教師和學生一起回顧本節課所學主要内容，并請學生回答以下問題：

(1)本節課學習了哪些主要内容？

(2)去分母的依據是什麼？又有什麼作用？

(3)利用去分母解一元一次方程時應注意哪些方面？

(4)去分母時，方程兩邊所乘的數是怎麼确定的？

【設計意圖】複習鞏固，提升總結本節課的知識，使學生學會總結反思。

6.布置作業

課本第98頁練習，習題3.3第3題

7.闆書設計

8.反思與點評

本課時的教學内容有關去分母解方程，與前面去括号解方程相比，隻是略微增加了一步，所以本課時開始采用了溫故知新的方法幫助學生銜接，接着以問題串的形式進行師生互動，以幫助學生真正掌握去分母解方程的方法，培養學生的數學核心素養.教學過程中，教師要随時與學生保持互動，以了解學生的掌握情況，不僅有利于學生很好地了解自己的學生結果，還有利于他們進行自我調節，改進學習方法.此外，還應讓學生多練習，以達到熟能生巧的程度.

張茗老師點評：本節課基于數學建模、數學運算等核心素養結合中外數學曆史和文化進行教學設計。舉例圍繞知識要點體現了典型性，在教學中利用多媒體教學等多種教學手段，促進學生自主學習體現了教育性，從中國古代數學《九章算術》和埃及紙草書體現了文化性。通過帶領學生深入思考，鍛煉學生審題能力和分析能力，利用數學文化來育人，讓學生在潛移默化中感受數學文化的魅力。但也存在不足，雖然采取分層教學，舉出不同難度的例題但實施起來時間過長，信息技術運用時應為教學核心内容服務。

參考文獻：

［1］顧沛.數學文化〔M〕.北京：高等教育出版社，2013.05.1-3

［2］汪曉勤.HPM視角下二元一次方程組概念的教學設計〔J〕.中學數學教學參考（初中版）2007（5）：48-51

［3］汪曉勤 栗小妮.數學史與初中數學教學-理論、實踐與案例〔M〕. 上海：華東師範大學出版社，2019.06.149-155

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