逆等線、最值問題 (近幾年中考比較流行此類題目)

等腰△ABC中，E、F分别是腰AB、AC上的動點，且AE=CF，即逆向相等，則EF稱為等腰△ABC的逆等線。一般情況下題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，也歸為逆等線問題。

由于AE與CF沒有首尾相連，所以一般通過平移、構造全等三角形等方法轉移線段，使它們産生聯系。

這個例題是最常見的逆等線求最值的問題

固定的△ABC中，D、E分别是AB、AC上的動點，且AD=CE，求BE CD的最小值。

如圖，通過構造全等三角形，△CEF≌△ADC，使D、E雙動點轉化成單動點，BE CD轉化成BE EF，最小值就是定點B、F間的距離。具體題目中會給出一些特殊角度，便于計算BF的長度，最常見的是等邊三角形，直角三角形。

下面是練習題，構造方法非常多，解析僅供參考。

①如圖△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，E、F分别在AB、AC上，且AE=CF，AD⊥EF交BC于D，求證EF=AD。

②等邊△ABC的邊長是6，E、F是AB、AC邊上的動點，且AE=CF，求EF的最小值。

③如圖△ABC，∠ABC=60°，點D、E分别在BC、AC上，且AE=CD，若AB=4，AC=5，求AD BE的最小值。

④如圖△ABC，∠BAC=90°，點D、E是BC邊上的動點，且BD=CE，若BC=5，求AD AE的最小值。

⑤如圖，矩形ABCD，AB=3，AD=4，點E、F分别是線段AC、BC上的動點，且AE=CF，求DE DF的最小值。

⑥如圖，矩形ABCD，AB=2，AD=1，G是AB中點，E、F分别是AD、CD邊上的動點，且CF=2AE，求GF 2BE的最小值。

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以下是練習題的答案與解析，解題方法多種多樣，僅供大家參考。

①答案：簡證如下

把EA平移到FG，連接CG、AG，則四邊形AEFG是平行四邊形，AG=EF。△FCG是等腰直角三角形，∠ACG=45°。

因為∠CAG=∠BAD，AB=AC，∠ACG=45°=∠B，所以△ACG≌△ABD(ASA)，AG=AD，所以EF=AD。

②答案：3

利用條件AE=CF，構造△CDF≌AFE。

如圖，過C作CD∥AB，且CD=AF，則∠DCF=∠FAE，△CDF≌△AFE(SAS)，所以DF=EF。

易知四邊形BCDE是平行四邊形，所以DE=BC=6。

EF DF=2EF≥DE，當EFD三點共線時取等号(此時EF∥BC)。所以EF的最小值是3。

③答案：√61

利用AE=CD，構造△AEF≌CDA，把AD轉移到EF，則與BE相連。

過點A作AF∥BC，且AF=AD。則∠EAF=∠C，所以△AEF≌△CDA(SAS)，所以AF=AC=5。

轉化成BE EF的最小值，且B、F都是定點，BE EF≥BF

接下來求出BF即可。延長FA，過B作BG⊥FA于點G，則∠ABG=30°，AG=2，GF=7，BG=2√3。

BF²=BG² GF²=12 49=61，所以BF=√61，即AD BE的最小值是√61。

④答案：5

利用BD=CE，構造△BDF≌CEA，把AE轉移到DF，則與AD相連。

過B作BF∥AC，BF=AC，則∠DBF∠C，所以△BDF≌△CEA(SAS)，所以BF=AC，DF=AE。

AD AE=AD DF≥AF。

接下來求出AF即可。易知△ABF≌△BAC(SAS)，所以AF=BC=5，即AD AE的最小值是5。

⑤答案：√985 / 5

利用AE=CF，構造△AGE≌CDF，把DF轉移到EG，則與DE相連。

過點A作AG⊥AC，且AG=CD。則△AGE≌△CDF(SAS)，所以AG=CD=3。

轉化成DE EG的最小值，且G是定點，DE EG≥DG

接下來求出DG即可。延長DA，過G作GH⊥DA于點H，則△GAH∽△ACD(一線三垂直)，AC=5，容易求出AH=9/5，GH=12/5，所以DH=29/5，直角△DHG中根據勾股定理求出DG=√985 / 5。

⑥答案：√26

此題給的是線段的2倍關系，不能構造全等，但是可以構造相似。

利用CF=2AE，構造△CHF∽△ABE，把2BE轉移到FH，則與GF相連。

延長BC至H，使CH=2AB，則△CHF∽△ABE，所以FH=2BE。

GF 2BE≥GH。

接下來求出GH即可。GB=1，BH=BC CH=1 4=5，根據勾股定理可得GH=√26。

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