矢量與度規如何用矩陣表示？如何用矩陣描寫坐标系的變換？7月8日中午12時，《張朝陽的物理課》第六十九期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間。他先介紹了一些線性代數的基礎概念，用矩陣的方法表示矢量的長度，并引出度規的概念；接着求出旋轉操作對應的矩陣，并驗證了直角坐标系的度規在該操作下保持不變；而随後他又證明直角坐标系變換到非直角坐标系時，度規會發生變化。最後，根據光速不變導出四維時空的不變量，并寫出了對應的四維度規。

2維空間中可以用基矢量乘以對應的系數并求和來表示一個矢量，另外還可以将其中的系數寫成2×1的矩陣形式來表示矢量，稱為列向量。列向量的轉置是一個1×2的矩陣，即行向量。矢量的乘積可以寫成矩陣乘法的形式，其中會出現稱為度規η的矩陣，它可以用來度量矢量的長度。一個矢量的矩陣表達是與坐标基矢的選擇密切相關的。若坐标系發生改變，矢量的矩陣表達也會發生變化，由于矢量的長度與坐标系無關，由此還可以導出度規的變化。

在介紹完一些基本線性代數知識後，張朝陽以坐标系繞原點轉動的情況為例，驗證直角坐标系下度規恒為單位矩陣。先根據長度不變的性質，将原坐标與轉動後的新坐标用極坐标表示出來，然後聯立解得新坐标與原坐标的關系式，寫成矩陣的形式得到變換矩陣。通過變換矩陣以及矩陣的乘法即可驗證在新坐标系下的度規仍然為單位矩陣。

随後張朝陽開始分析非直角變換，用簡單的幾何方法，将原本的直角坐标系的坐标表示成了非直角坐标系的坐标，得到了變換矩陣的逆，并通過矩陣的乘法，求得了非直角坐标系的度規的矩陣表示，發現它并不是單位矩陣。但通過具體計算矢量長度的平方，此非單位矩陣的度規确實可以在非直角坐标系下給出正确的矢量長度。

接着張朝陽複習了邁克爾遜莫雷實驗以及其“以太”不存在的結論，指出光速不變性必須要求時間與空間不是獨立的，在新的時空觀下，空間的長度會随時間而變，所以需要重新尋找一個不随參考系變換的不變量來代替空間長度。他通過光速不變性發現-(ct)^2 x^2 y^2 z^2=0是個不變量，将其定義為四維時空的“長度”。

類似前面關于2維空間的讨論，這裡四維時空也可以用矩陣的形式來描寫。四維矢量用列向量表示，而通過長度的定義又可以求得度規的矩陣表示，發現四維度規是個對角矩陣，但與時間相關的那個對角元是-1，其三個與空間相關的對角元是1。若要求坐标變換不改變度規，那麼可以求得該坐标變換為洛倫茲變換。

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播六十多期，從去年11月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律等；而後從經典物理的“兩朵烏雲”說起，向近現代物理過渡，探讨了黑體輻射理論中的維恩公式、普朗克公式等知識。此後逐步進入量子力學領域，從基礎的薛定谔方程等理論内容，到氫原子波函數，再到氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。内容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融。

《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟：注重硬核推導，通過一步一步詳盡的數學計算，推導出相關的物理公式，把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬号，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬号上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

除了《張朝陽的物理課》外，在直播方面，搜狐視頻正持續打造知識直播平台，邀請各個科學領域的頭部播主入駐，進行科普知識直播。包括北京交通大學理學院教師陳征博士，科普“銀河系的形成與發展”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，帶你了解太陽系八大行星的秘密；還有清華大學高等研究院天文學博士王卓骁，探讨“人造天體的運行規律”；理論物理博士周思益也開通“弦論世界”直播課，盤點有趣的航天冷知識等。未來還将有更多知識播主入駐搜狐視頻，一起互動玩轉科學。

文/ 金仁甫

編輯/範輝

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