春天來了，油菜花開了，我們看看圖，2020.3.23

昨天寫完古印度數學家婆羅摩笈多，查看記錄的大綱，發現漏寫了朱謙，大綱備注是發現了張角定理。

遍搜網絡，沒有找到朱謙的生平，隻有“公元467年，東晉朱謙發現張角定理。”

朱謙這個名字應該是一個很常見的名，中國人挺喜歡“謙”這個字的。網絡上發現好幾個朱謙。同名的朱謙是明朝大将，而發現張角定理的朱謙，是東晉人。

另一個說法張角定理是由英文名音譯的。張角定理的英文名，spread angle theorem，很大概率是從音譯過來，張開的角度，簡稱張角，對應上中國曆史東漢末年張角。這隻是我的一個猜測。

第一個說法，我姑且認為他是真的吧。

朱謙，東晉人，于公元467年發現張角定理。至于生平，未知。張角定理記載于哪本數學算經，也未知。公元467年，是中國南北朝時期，北朝是北魏，南朝是南朝宋。南北朝時期，戰争頻發，朱謙對我們來說就像謎一樣。

下面我們直接進入專題：

·張角定理

這個定理下面，我會推導出已知三條邊長，求角平分線的長度和各種角，半角的正弦餘弦正切值的公式。

在三角形ABC中，D是BC的一點，連接AD，那麼

。

大家注意三條線的頂點都是A.

這個證明方法很多，我說個最簡單的：

用三角形面積公式，面積等于兩邊乘以夾角的正弦。

大三角形可以寫成兩個小三角形的和。基本公式寫出來，定理就得證了。

特殊情形：

AD是角平分線時，我們就可以算出AD的長了。

這裡寫個約定：三角形頂點是A，B，C,

三邊長分别是a,b,c,

周長的一半是p，

面積是S。

那麼張角公式就可以寫成：

如果AD是角平分線，那我們就可以得出：

AD=

而餘弦定理得知：

再根據三角函數半角公式，我們可以得出：

①

同樣的事我們可以推出：

②

那麼：

③

④

那麼角平分線AD的長度為：

⑤

注意第三個正切公式：p*（p-a（b,c））與其餘兩個的比例。

總結：這裡歸納了三角形三個角和三條邊的關系，已知三邊，求三個内角的正弦，餘弦，正切值，以及内角半角的三角函數值。

張角定理的逆定理

逆定理同樣成立。這個非常重要，是用來證明共線的一個重要定理。

在角ABC，D為角内一點，連接AD，

如果

，

那麼B，C，D三點共線。

這個定理證明過程：

連接BC,交AD于D’.

根據張角的定理，可以得出：

又有已知，可以得出：

得出AD=AD’

那麼D.D’重合。

介紹了長角定理，順便把分角定理也說一下。

兩個都是連接一個頂點和對邊某點構成的圖形裡的邊角關系的定理。

分角定理：

在三角形ABC中，D是BC所在直線的一點，連接AD，則有：

分角定理是幾何數學中一個基礎定理，證明過程非常簡單。

和張角的定理證明很類似，

大緻就是等式右邊分子分母同時乘以AD，就是面積之比。

就不一一寫出來了。

如果有錯誤或者疏漏，請大家留言指出來，我會修改訂正的。

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