對于給出中點時，部分同學對中位線、中線掌握不到位，遇到題目中有直角三角形斜邊上的中點，經常視而不見，從而想不到斜邊中線處理線段之間數量關系時的妙用；而有時出現多個中點，想不到再找中點，從而也就看不見隐藏的中位線了，本講就精選幾道例題幫助同學們突破難點．

一、想不到的斜邊中線

例1：

如圖，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長為________．

分析：

根據DE是中位線，可知DE長是第三邊BC長的一半，點D是AB的中點．由∠AFB＝90°，則Rt△ABF中，可知DF作為斜邊中線，長度等于斜邊AB長的一半，将DE的長減去DF的長，即可得到EF的長．

解答：

例2：

如圖，在△ABC中，點D，E，F分别是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．

(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

(2)求證：∠DHF＝∠DEF．

分析：

(1)根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形．

(2)D，F分别作為Rt△ABH，Rt△ACH斜邊AB，AC上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四邊形對角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代換即可得證．

解答：

證明：

(1)∵點D，E，F分别是AB，BC，CA的中點，

∴DE、EF是△ABC的中位線，

∴DE∥AC，EF∥AB，

∴四邊形ADEF是平行四邊形．

(2)∵AH是邊BC上的高，D，F分别是AB，CA中點

∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，

∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，

∴∠DHF＝∠BAC，

∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF＝∠BAC，

∴∠DHF＝∠DEF．

本題也可連接DF，證明△DEF≌△FHD

小結：

許多題目中，會出現多個中點，有的中點與另一中點相連，作為中位線；而有的中點與直角頂點相連，就成了斜邊中線，而這都涉及到線段長度之間的倍數關系，尤其是後者，不能忽視．

二、看不見的中位線

(1)補全三角形

例1：

在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中點，AC＝15，BC＝27，求DE的長．

分析：

本題中，點E已經是AB的中點，由CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到可以構造等腰三角形，利用三線合一，使點D成為另一個中點，從而讓ED變成“看得見”的中位線．

解答：

例2：

如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求證：GH∥BC；

(2)若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．

(3)若将條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B的平分線及∠C的外角平分線”(如圖2所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖3所示)，其餘條件不變，求證：結論GH∥BC仍成立．

分析：

與上例類似，有角平分線，有垂直，延長構造等腰三角形，利用三線合一．

解答：

(1)證明：

分别延長AG，AH交BC于M，N，

在△ABM中

∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，

∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°

∴∠BAM＝∠BMA．

∴BA＝BM，G是AM的中點．

同理CA＝CN，H是AN的中點，

∴GH是△AMN的中位線，HG∥MN，HG∥BC．

(2)

由(1)知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，

∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．

∴MN＝BM＋CN－BC

＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5

(3)無字證明如下，相信同學們都能看懂．

(2)找邊的中點

例1：

分析：

根據要證明的結論，我們可以發現這與三角形三邊關系有關，因此，要構造一個以CD長的一半，AB長的一半，EF長為三邊的三角形，自然想到中位線，取BC邊的中點即可．

解答：

變式：

已知在四邊形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、DC的中點．求證：OM＝ON．

分析：

要證OM＝ON，可以從等角對等邊入手，證∠OMN＝∠ONM，考慮到對角線AC＝BD，能不能再來一次等邊對等角呢？構造AC，BD的一半即可，則需要構造中位線，自然想到BC的中點．

解答：

(3)找對角線的中點

例1：

如圖，四邊形ABCD中，E為AD中點，F為BC中點．求證：AB＋CD＞2EF．

分析：

根據要證明的結論，，似乎又與三角形三邊關系有關，将不等式兩邊同除以2，則隻需構造以EF，AB長的一半，DC長的一半為邊的三角形，想到連接對角線取中點．

解答：

變式：

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB邊的中點，FE的延長線分别與AD、BC的延長線交于H、G點．求證：∠AHF＝∠BGF．

分析：

與例1的變式類似，要借助其他兩個相等的角轉化，考慮到對邊相等，則構造AD，BC的一半即可，則需要構造中位線，自然想到對角線AC的中點．

解答：

小結：

對于以上4題，我們都需要找中點，構造中位線，但方法各異，有取四邊形邊的中點，有取四邊形對角線的中點，能否找到一些規律呢？其實不難！

例1，例2，最後證明的結論都與一組對邊有關．

例1，要證明的一組對邊必作為第三邊， 已經給出對角線的中點，那麼必然要再取另一對邊中的一條的中點．

例2，要證明的一組對邊必作為第三邊， 已經給出另一組對邊的中點，，那麼必然再取一條對角線的中點．

例1的變式，例2的變式，最後要證明的結論都是角等，也就是邊等．

例1的變式中，對角線相等，必作為第三邊， 給出一對邊的中點，那麼必然再取另一組對邊中的一條的中點．

例2的變式中，一組對邊相等，必作為第三邊， 給出另一組對邊的中點，那麼必然再取一條對角線的中點．

由此可見，關鍵在于選擇誰作第三邊．

有些結論比較明顯的，直接以結論中涉及的邊為第三邊，

對于不明顯的，則需要轉換，但一般如果題目中有兩條線段相等的條件，則這兩條相等的線段必然作第三邊．

本講思考題3例

1、如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到△DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF＝________．

2、如圖，邊長為2的正方形EFGH在邊長為6的正方形ABCD所在平面上移動，始終保持EF∥AB．線段CF的中點為M，DH的中點為N，則線段MN的長為________．

3、如圖，在△ABC中，若∠B＝2∠C，AD⊥BC，E為BC邊中點，求證：AB＝2DE．

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