在數學中，有一些不等式可以利用函數的單調性來證明，今天老黃就要介紹幾個應用函數單調性證明的不等式。

應用函數的單調性證明下列不等式：

(1)tanx>x- x^3/3, x∈(0,π/3)；(2)2x/π<sinx<x, x∈(0,π/2)；

(3)x-x^2/2 <ln(1 x)< x-x^2/(2(1 x)), x>0.

解：(1)記f(x)=tanx-(x-x^3/3)=tanx-x x^3/3, 【高數有很多問題都需要構造輔助函數】，

則f’(x)=(secx)^2-1 x^2=(tanx)^2 x2≥0, 【即 原函數在定義域上是單調遞增的函數】

∴f(x)在(0,π/3)上單調遞增, 又f(x)在x=0連續，【必須确定函數在需要用到的端點連續】

∴當x∈(0, π/3)時, f(x)=tanx-(x- x^3/3)>f(0)=0,

即tanx>x- x^3/3, x∈(0,π/3).

(2)記f(x)=sinx/x, 【若記f(x)=sinx-x，可以證明sinx<x，但很難證明2x/π<sinx】

則f’(x)=(xcosx-sinx)/x^2=(x-tanx)cosx/x^2<0, x∈(0, π/2), 【可記g(x)=x-tanx，同樣應用函數的單調性證明x-tanx<0, x∈(0, π/2)】

∴f(x)在(0, π/2)上單調遞減,

又lim(x->0)(sinx/x)=1，【當輔助函數在端點處沒有定義時，必須求函數的極限】

∴當x∈(0, π/2)時, 1>sinx/x>sin(π/2)/π/2=2/π,

即 2x/π<sinx<x, x∈(0,π/2).

(3)記f(x)=x-x^2/2-ln(1 x), g(x)=x-x^2/(2(1 x))-ln(1 x), 則當x>0時，

f’(x)=1-x-1/(1 x)=(-x^2)/(1 x)<0,

g’(x)=1-(4x(1 x)-2x^2)/(4(1 x)^2)-1/(1 x)=x^2/(2(1 x)^2)>0.

∴f(x)減, g(x)增, 又f, g在x=0處連續,

∴f(x)=x-x^2/2-ln(1 x)<f(0)=0, g(x)=x-x^2/(2(1 x))-ln(1 x)>g(0)>0,

即 x-x^2/2 <ln(1 x)< x-x^2/(2(1 x)), x>0.

接下來，歸納應用函數單調性證明不等式的一般步驟。不妨記不等式u(x)>v(x), x∈(a,b).

1、構造輔助函數f(x)=u(x)-v(x). 或(f(x)=u(x)/v(x)，v(x)>0),

2、求f'(x).

(1)若f'(x)>0，則f增，必有f(x)在x=a連續，且f(a)=0(或f(a)=1)，否則無法證明。

則 f(x)=u(x)-v(x)>f(a)=0(或f(x)=u(x)/v(x)>f(a)=1)，

從而有u(x)>v(x)，得證。

(2)若f'(x)<0，則f減，必有f(x)在x=b連續，且f(b)=0(或f(b)=1)，否則無法證明。

則 f(x)=u(x)-v(x)>f(b)=0(或f(x)=u(x)/v(x)>f(b)=1)，

從而有u(x)>v(x)，得證。

同理可以證明u(x)<v(x)的情形，把它寫成v(x)>u(x)，就歸納到上面的情形。

現在你會自己利用函數的單調性證明一些不等式了嗎？

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