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異面直線所成的角的範圍

圖文更新时间:2024-12-02 21:51:18

假設一條直線在一個平面上傾斜。平面的法線是從直線與平面接觸的一點畫出來的。這條法線和這條線成一個角。在解析幾何中，直線與平面的夾角等于直線與法線夾角的補角。在本文中，我們将詳細讨論這個概念。

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）1

一條直線與平面成角Φ。直線的向量方程可以表示成：

r = tb (r0是直線r上的一個點， b是直線r的平行向量，t是參數)

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）2

平面的矢量方程為：

r. n = 0 （n是平面的法向矢量，r是平面的上過法線交點的直線向量。）

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）3

設θ是直線與平面法線的夾角。其值利用兩個向量的夾角公式，可由下式給出:

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）4

Φ是直線與平面的夾角，是90 - θ或θ的補角。我們知道cosθ= sin (90 - θ)所以Φ可以通過以下方式給出:

sinΦ=sin (90 – θ) = cos θ

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）5

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）6

舉個例子更好理解這個問題：

空間的一條直線的方程是：

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）7

一個平面方程是：3x 4y – 12z = 7，求出它們的夾角。

解: 設θ是直線與平面法線的夾角。

因為直線過（0, -32, 2）這點，而且其方向矢量為<6, 2, 3>

在矢量形式下，方程可以寫成:

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）8

向量形式的平面方程可由:

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）9

因此我們有直線的方向矢量b= 6i 2j 3k

和平面法向量 n= 3i 4j – 12k

帶入向量夾角公式:

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）10

Φ 的值可有反函數求出：

異面直線所成的角的範圍（直線與平面的夾角）11

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