簡諧運動在生活中很常見，也許大家不曾注意。然而，這些數學和物理都是實實在在的東西，簡諧運動的公式究竟長什麼樣子呢，不要着急，就讓老高一步一步帶大家揭開它的神秘面紗吧。
我們首先向大家介紹複數的概念：
a是一個複數
那麼，我們可以知道a的共轭：
而：
由勾股定理得到的公式
這裡用到一個技巧：
幅角
我們把如圖的這個角稱為幅角。
大數學家歐拉
它長這個樣子：
式中的F0是力的最大值，因為cos最大不過1
而我們知道：
角度等于角速度乘以時間
這裡，聰明的前人對以上的公式做了整合：
聯立下式，可以得到
因為物理中沒有一個力會是複數，實際的力也沒有虛部，隻有實部，但是我們要以上式來表述力，這樣就成了指數的代數運算，使得運算得以簡化。
我們現在用以上所學的複數知識來解一個方程：
式子k是彈簧的彈性系數，m是質量，x是位移量。
那麼，精彩之處來了：
我們假定x和F是真正的複數，盡管這樣做有些荒謬，但這僅僅是數學上的目的，這就是說，x有一個實部和一個虛部乘i（注意，實際中位移隻有實部，這裡是數學技巧）
我們把複數帶入上面的微分方程：
Xr表示實位移，Xi表示虛位移，Fr表示實際存在的力，Fi是虛的力。
最終，我們能得到一個精美的複數形式方程：
假設我們要表示一個力，它是餘弦波，相位滞後了一個△，我們把它寫成F帽的形式，這一做是為了提醒我們，這個量是複數：
聯立以上的公式，将（iw）^2代入微分方程中，我們就把微分方程變成了純粹的代數方程，于是我們實際中就可以得出一個解：
複數形式下的簡諧運動方程
式中x帽代表了複數下的位移量！
我們把w0稱為固有頻率，當w接近w0時，分母趨于0，這個x帽将變得非常大，我們會得到一個非常強的響應。
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