一道高中三角題-證明一個恒等式
求證下面的恒等式成立：
sin3x=4sinx sin(60∘−x) sin(60∘ x)
證明：首先我們要證明一個引理，即下列三角恒等式成立：
在三角中有如下的恒等變換：
因此利用上述公式：
回到本題設α=x,β=x 120∘,γ=x−120那麼原式變成：
sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)−sin3x=4sinxsin(x 60∘)sin(x−60∘),
這裡暗含着若給定的等式成立，則要證明：
sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)=0.
最簡單的方法是利用複數的歐拉定理，參見複數的歐拉定理：
In complex numbers, the three cube roots of unity add up to 0:
在複數中單位1的三個立方根的和為0：
此等式兩邊乘以任何數都是零，因此同乘以e的ix幂:
對于複數為0，說明實數部分和虛數部分都是0， 應用歐拉公式有：
sinx sin(x π3) sin(x−π3)=0.
因此給定的式子證明完畢。
實際上利用三角的和差化積公式也可以證明，
sinx sin(x 120∘) sin(x−120∘)=0.
這裡隻是提供了另一種思路把知識點連接起來。
由于公式:
是針對任意的角度α，β，γ都成立。
如果在三角形中α β γ=π，
那麼有（α β）/2=π/2-γ/, 依此類推，帶入有：
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