在許多題目裡，在反比例函數圖象中，往往涉及三角形或四邊形的面積，一般靈活運用反比例函數系數K的幾何意義，或設出圖象上點的坐标，再利用其他條件列出等量關系進行求解.下面給出幾個圖形.

題型一.反比例函數的系數K與面積的關系

1.如圖，正比例函數y=x與反比例函數y=1/x的圖象交于A，B兩點，BC⊥x軸于點C，則△ABC的面積為_______.

2.如圖，點P在y軸正半軸上運動，點C在x軸上運動，過點P且平行于x軸的直線分别交函數y=一4/x(x<0)和y=2/x(x>0)的圖象于A、B兩點，則△ABC的面積為______

3.如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=6/x在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC一S△BAD為______.

【分析】本題初看不好解答，但要求面積之差，大膽引進未知數，由題意可設OC=AC=a，AD=BD=b，則A點坐标為(a，a)，B點坐标為(a十b，a一b)，∵點B在y=6/x上，∴(a b)(a一b)=6，即a²一b²=6，而S△OAC=a²，S△BAD=b²，所以本題答案為6.

4.如圖，點A，C為反比例函數y=K/x(x<0)圖象上的點，過點A，C分别作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分别為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，點E恰好為OC的中點，當△AEC的面積為3/2時，K的值為_____.

【分析】本題關鍵是由E為OC的中點，得到BE為△OCD的中位線，從而找到OD=2OB，進而找到CD與AB的關系，若設A點坐标為(m，K/m)，則D點坐标為(2m，K/2m)，則AB=K/m，CD=K/2m，則BE=K/4m，∴AE=K/m一K/4m，而DB=m一2m，可等同于△AEC，AE邊上的高，則AE×BD/2=S△AEC=3/2，即(K/m一K/4m)(m一2m)/2=3/2，解得K=一4，(仔細體會由中點這一條件，利用橫坐标的倍比關系，建立縱坐标乃至垂線段的關系同時引進了系數K，為建立含K的方程做出鋪墊).本題也可用S梯形CDBA=S△AOC=3，求出K，即(k/2m K/m)(m一2m)/2=3，解得K=一4，這時利用于E為OC的中點，S△AEC=S△AOC/2.

5.如圖，一次函數y=Kx b的圖象與反比例函數y=m/x的圖象交于點A(一3，m 8)，B(n，6)兩點.

(1)求一次函數與反比例函數的解析式;

(2)求△AOB的面積.

【分析】(1)求反比例函數解析式隻須一個條件，求一次函數需兩個條件，将A點坐标代入反比例函數解析式，建立關于m的方程，求得m=一6，則反比例函數解析式為y=一6/x，再代入B點坐标，可求出n的值，則A，B兩點坐标确定，設出一次函數解析式，代入A，B兩點坐标，建立方程組，可确定一次函數解析式為y=一2x一4.(2)要求△AOB的面積，設AB與x軸交于C點，依托坐标軸上的線段做底，将△AOB分為△AOC和△BOC，利用A，B兩點縱坐标絕對值做高，可方便求出面積

S△AOB=S△AOC十S△BOC=2×2×1/2十2×6×1/2=2十6=8.

【第1題，第2題答案都為1】

題型二.利用面積求反比例函數的解析式

(一)已知三角形面積求函數解析式

6.如圖，在平面直角坐标系中，直線AB與x軸交于點A(一2，0)，與反比例函數在第一象限内的圖象交于點B(2，n)，連接BO，已知S△AOB=4.

(1)求該反比例函數，及直線AB對應的函數解析式;

(2)若直線AB與y軸的交點為C，求△OCB的面積.

【分析】(1)由A點坐标，可知OA=2，由S△AOB=4，可得|n|=4，因B點在第一象限，n>O，∴n=4，可知B點坐标為(2，4)，可求反比例函數關系式為y=8/x，設出直線AB的解析式y=Kx b，代入A，B兩點坐标，可求直線AB解析式為y=x 2.(2)由于直線AB與y軸交于C點，可得C點坐标為(0，2)，∴S△OCB=s△AOB一S△AOC=4一2×2×1/2=2.

(二)已知四邊形面積求函數解析式

7.如圖，在平面直角坐标系中，雙曲線y=K/x經過平行四邊形ABCD的頂點B，D.點D的坐标為(2，1)，點A在y軸上，且AD∥x軸，平行四邊形ABCD的面積為5.

(1)填空:點A的坐标為_______;

(2)求雙曲線和AB所在直線的解析式.

【分析】(1)由AD∥x軸，C點坐标為(2，1)，而A點在y軸上，∴A點坐标為(0，1).(2).由雙曲線過點D(2，1)，可求雙曲線解析式為y=2/x.由于AD=2，平行四邊形的面積為5，可求AD與BC間距離為5/2，則原點到BC間距離為3/2，∴B點縱坐标為一3/2，代入雙曲線解析式，可求B點橫坐枋為一4/3，∴B點坐标為(一4/3，一3/2)，由A，B兩點坐标可求直線AB的解析式為y=15x/8 1.

題型三.已知反比例函數解析式求圖形的面積

(一)利用對稱性求面積

8.如圖是由四條曲線圍成的廣告标志，建立平面直角坐标系，雙曲線對應的函數解析式分别為y=一6/x，y=6/x，現用四根鋼條固定這四條曲線，這四根鋼條所圍成的矩形ABCD的面積是多少？

【分析】由反比例函數圖象的對稱性可知，兩條坐标軸将矩形ABCD分成四個全等的小矩形，∴S矩形ABCD=4×6=24.

(二)利用點的坐标及面積公式求面積

9.如圖，一次函數y=Kx十b與反比例函數y=a/x的圖象在第一象限交于A，B兩點，點B的坐标為(3，2)，連接OA，OB，過B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA于C，若OC=CA.

(1)求一次函數和反比例函數的解析式i

(2)求△AOB的面積.

【分析】(1)由B點坐标可求反比例函數解析式為y=6/x，過點A作AF⊥x軸，垂足為F，交BD于E，則EF=2，∵BD⊥y軸，OC=CA，∴AE=EF=AF/2，∴AF=4，即A點縱坐标為4，代入反比例函數解析式，可求橫坐标為3/2，∴A點坐标為(3/2，4)∴一次函數解析式可求為y=一4x/3 6.

(2)設AF與OB交于點G，∵B點坐标為(3，2)，可求直線OB的解析式為y=2x/3，∴可求G點坐标為(3/2，1)，∴AG=3，∴S△AOB=S△AOG S△ABG=1/2×3×3=9/2.

(三)利用面積關系求點的坐标

10.如圖，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A(√3，1)在反比例函數y=K/x的圖象上.

(1)求反比例函數y=K/x的解析式.

(2)在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=1/2S△AOB，求點P的坐标，

(3)若将△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE.直接寫出點E的坐标，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由.

【分析】(1)由A(√3，1)在反比例函數圖象上，可得K=√3，解析式為y=√3/x.

(2)由A(√3，1)，AB⊥x軸，∴OC=√3，AC=1，∴OA=2，∴∠AOC=30°，又∵OA⊥OB，∴∠COB=60°，則∠OBC=30°，∴OB=2√3，BC=3，∴B點坐标為(√3，一3)，那麼S△AOB=2√3，則S△AOP=1/2S△AOB=√3，若設點P坐标為(m，0)，則1/2×|m|×1=√3，∴|m|=2√3，由于P點在x軸的負半軸上，∴P點坐标為(一2√3，0).

(3)由于将△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，則△BOA≌△BDE，∴∠OBD=60°，BO=BD=2√3，OA=DE=2，而∠OBC=30°，∴∠ABD=90°，而BD一OC=√3，BC一DE=1，∴E點坐标為(一√3，一1)，∵一√3×(一1)=√3，∴E點在反比例函數的圖象上.

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