超幾何分布是統計學上一種離散概率分布。它描述了從有限N個物件（其中包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數（不放回）。稱為超幾何分布，是因為其形式與“超幾何函數”的級數展式的系數有關。 [1]

超幾何分布中的參數是M,N,n，上述超幾何分布記作X~H(N,M,n)。

編輯

産品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在N件産品中有M件不合格品，即不合格率

。

在産品中随機抽n件做檢查，發現k件不合格品的概率為

,k=0,1,2...min{n,M}。

亦可寫作

（與上式不同的是M可為任意實數，而C表示的組合數M為非負整數）

為古典概型的組合形式，a為下限，b為上限，此時我們稱随機變量X服從超幾何分布（hypergeometric distribution）。

需要注意的是： [1]

（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣。

（2）超幾何分布中的參數是M,N,n，上述超幾何分布記作X~H(n,M,N

已經知道某個事件的發生概率，判斷從中取出一個小樣本，該事件以某一個機率出現的概率問題。

例：在一個口袋中裝有30個球，其中有10個紅球，其餘為白球，這些球除顔色外完全相同。遊戲者一次從中摸出5個球。摸到至少4個紅球就中一等獎，那麼獲一等獎的概率是多少？

解：由題意可見此問題歸結為超幾何分布模型。

其中N = 30. D = 10. n = 5.

P（一等獎） = P(X=4) P(X=5)

由公式

,k=0,1,2,...得：

P（一等獎） = 106/3393

定理：對超幾何分布X~H(N,M,n) ，随機變量X的數學期望

. [2]

引理一：

引理二：

引理證明：它們均可用恒等式（1 x）M-1(1 x)N-M=(1 x)N-1兩邊的展開式中含xn-1項的系數相等證明。僅以（2）中n≤M的情形證明如下：

的展開式中含xn-1項的系數為（注意N-M

定理證明：當M=N=1時，X的分布列P（X=1）=1，且有n=1，可得此時欲證成立。

當M=1，N≥2時，X的分布列為：

所以

（引理一(2)）

下證M≥2時也成立，又分兩種情形：

（1）又當n≤N-M時，X的分布列見超幾何分布的定義有

（2）又當n>N-M時，X的分布列見超幾何分布的定義有

因此定理獲證 [3]

對X~H(N,M,n)，

[4] .

證明：D(X)=E(X2)-E(X)2 （此公式利用定義式簡單展開即得）

（提取，變形）

（拆項，變形）

（拆開∑，就是分組求和）

[2] （化簡即得）

超幾何分布和二項分布的聯系 [1]

（1）在超幾何分布中，當

時，

(二項分布中的p）。

（2）當

時，超幾何分布的數學期望

（3）當

時，超幾何分布的方差

（二項分布的方差）。

（4）當

時，超幾何分布近似為二項分布。

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