容斥原理在高中叫做“集合問題”，其難度中等且做題技巧性強，深受命題人喜愛，因此是行測考試中經常出現的一類題型。

縱觀聯考真題，容斥問題考的并不多，2009-2014年六年12套聯考真題，總共出了2道容斥問題，分别是2012年421聯考和2014年412聯考。并不是說容斥問題出的少我們就可以忽略了，在2014年、2015年國考，以及2014年廣東、浙江、河北等單獨命題的省考中，容斥問題都曾出現，根據以往經驗，國考一直是聯考的風向标，且各省市相互借鑒，我們在複習備考聯考時，容斥問題依然是重要的内容，掌握容斥問題的題型特征和做題方法是十分必要的。

一、容斥問題題型分類

第一類題型：兩集合容斥原理公式：|A UB|=|A| |B|-|A∩B|=總個數- 兩者都不滿足的個數

第二類題型：（1）三集合容斥原理标準公式：|A UBUC|=|A| |B| |C|-|A∩B|-|B ∩C|-|C∩A| |A∩B∩C|=總個數- 三者都不滿足的個數

（2）三集合容斥原理變形公式：|A UBUC|=|A| |B| |C|-僅滿足兩個條件的情況數|-2|A∩B∩C|=總個數- 三者都不滿足的個數

注意 ② ：僅滿足2種情況的個數

③ ：同時滿足3種情況的個數

第三類題型：圖示類題型，通常是在套用公式條件不足時采用，一般是文氏圖，标數時從内向外标。

二、曆年聯考真題範例解析：

例1：（2012.421聯考）54.某公司招聘員工，按規定每人至多可投考兩個職位，結果共42人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數分别是22人、16人、25人，其中同時報甲、乙職位的人數為8人，同時報甲、丙職位的人數為6人，那麼同時報乙、丙職位的人數為：

A.7人B.8人

C.5人D.6人

解析：三集合容斥原理。根據公式：總個數- 三者都不滿足的個數=|A UBUC|=|A| |B| |C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A| |A∩B∩C|。設同時報乙丙職位的人數為x。理解題意之後代入公式：42－0=22 16 25－（8 6 x） 0，得到同時報乙丙職位的人數x=7。因此，本題答案選擇A選項。

例2：某單位利用業餘時間舉行了3次義務勞動，總計有112人次參加。在參加義務勞動的人中，隻參加1次，參加2次和3次全部都參加的人數之比為5：4：1。問該單位共有多少人參加了義務勞動？

A.70B.80

C.85D.102

解析：根據題目條件，假設參加1次、2次、3次的人數分别為5X，4X，X。文氏圖圖示法，所以得知5X 4*2X 3*X=112，X=7，所以一共參加勞動的人數為70人。因此，本題答案選擇A選項。

以上兩道例題是聯考中的真題，為了便于廣大廣大考生掌握容斥問題的這幾類題型和做題技巧，故在此增加兩道例題。

例3：某班有60人，參加物理競賽的有30人，參加數學競賽的有32人，兩者都沒有參加的有20人。同時參加物理、數學兩科競賽的有多少人？

A.28人B.26

C.24人D.22人

解析:根據兩集合容斥原理标準公式，|A UB|=|A| |B|-|A∩B|=總個數- 兩者都不滿足的個數，設同時參加物理、數學競賽的有X人，代入公式30 32-X=60-20，X=22。因此，本題答案為D選項。

例4：某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調查的學生共有多少人?( )

A.120B.144

C.177D.192

解析：根據三集合容斥原理的變形公式，|A UBUC|=|A| |B| |C|-僅滿足兩個條件的情況數|-2|A∩B∩C|=總個數- 三者都不滿足的個數。設接受調查的學生共有X人，代入公式63 89 47-46-2×24=X-15 ，X=120，因此，本題答案為A選項。

綜上，要想真正掌握容斥問題，不僅需要公式，還需要牢固掌握題目特征，多加練習，根據題目中給定的條件，靈活運用這些方法。

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