對初中生來說，“軌迹”是一個比較抽象的問題，但在高中數學中的學習是非常有用的，也是非常重要的．由于學生對動點的運動軌迹理解存在問題，導緻此類題型無所适從，不知該從何下手.在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量，即不變的數量關系或位置關系．如果動點的軌迹是一條線段，那麼其中不變的量便是該動點到某條直線的距離始終保持不變；如果動點的軌迹是一段圓弧，那麼其中不變的量便是該動點到某個定點的距離始終保持不變．因此，解決此類動點軌迹問題便可轉化為尋找變量與不變的關系．

【預備知識】

六種常用的基本軌迹：

符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌迹．

①到已知線段的兩個端點距離相等的點的軌迹是這條線段的垂直平分線．

②到已知角的兩邊距離相等的點的軌迹是這個角的平分線．

③到已知直線的距離等于定長的點的軌迹是與這條直線平行，且與已知直線的距離等于定長的兩條直線．

④到兩條平行線距離相等的點的軌迹是和這兩條平行線平行且到這兩條平行線距離相等的一條直線．

⑤到定點的距離等于定長的點軌迹是與定點為圓心，定長為半徑的圓．

⑥和已知線段的兩個端點的連線的夾角等于已知角的點的軌迹是以已知線段為弦，所含圓周角等于已知角的兩段弧(端點除外)．

符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌迹．

對于中考數學中動點軌迹的問題，一般有兩種情況：線段或圓弧。

在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量，即不變的數量關系或位置關系：如果動點的軌迹是一條線段，那麼其中不變的量便是該動點到某條直線的距離始終保持不變；如果動點的軌迹是一段圓弧，那麼其中不變的量便是該動點到某個定點的距離始終保持不變。因此，解決此類動點軌迹問題便可轉化為尋找定直線或定點。

【例題解析】

類型1 直線型

常考有（1）平面内到定直線的距離等于定長的點的軌迹是直線（線段）；（2）平面内與兩直線的夾角為定角的點的軌迹是直線（線段）。

例1．（2018•江陰市二模）正方形ABCD的邊長為4，P為BC邊上的動點，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點Q．當點P從B運動到C時，線段AQ的中點M所經過的路徑長（ ）

A．2 B．1 C．4 D．√2

【分析】由題意知：PQ⊥AP，即：∠APB ∠QPC＝90°，∠BAP ∠APB＝180°﹣∠B＝90°，所以∠QPC＝∠BAP，又∠B＝∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性質可得：BP/CQ=AB/PC，CQ＝PC/AB×BP，又BP＝x，PC＝BC﹣BP＝4﹣x，AB＝4，将其代入該式求出CQ的值即可，利用“配方法”求該函數的最大值．易知點M的運動軌迹是M→O→M，CQ最大時，OM＝1/2CQ＝1/2．

【解答】如圖，連接AC，設AC的中點為O′．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°

∵PQ⊥AP，∴∠APB ∠QPC＝90°∠APB ∠BAP＝90°

∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ

∴BP/CQ=AB/PC，即x/y=4/(4-x)，

∴y＝﹣1/4x² x＝﹣1/2（x﹣2）² 1（0＜x＜4）；

∴當x＝2時，y有最大值1cm．

易知點M的運動軌迹是M→O→M，CQ最大時，MO＝1/2CQ＝1/2，

∴點M的運動軌迹的路徑的長為2OM＝1，故選：B．

【點評】本題主要考查正方形的性質、二次函數的應用、三角形的中位線定理等知識，關鍵在于理解題意運用三角形的相似性質求出y與x之間的函數關系，學會探究點M的運動軌迹．

例2．（2018春•鎮江期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝9，AD＝12，點E、F分别是AB、AD的中點，點H是線段EF上的一個動點，連接CH，點P是線段CH的中點，當點H從點E沿着EF向終點F運動的過程中，點P移動的路徑長為________．

【分析】如圖所示，當點H與點E重合時，中點P的位置為P₁，當點H與點F重合時，中點P的位置為P₂，點P運動的路徑即為P₁P₂的長度．要求得P₁P₂的長度，即要求出EF的長度，EF的長度可以根據勾股定理求出．

【解答】如圖所示，當點H與點E重合時，中點P的位置為P₁，當點H與點F重合時，中點P的位置為P₂，點P運動的路徑即為P₁P₂的長度，

【點評】本題考查軌迹、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會取特殊位置，正确尋找點的運動軌迹，所以中考常考題型．

類型2 圓弧型

常考的有（1）平面内到一定點的距離為定長的點的軌迹是圓（圓弧）；（2）平面内與兩定點的張角（定弦定角必有圓）是定角的點的軌迹是圓。

例3．（2018•靖江市二模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為　 　．

【分析】如圖，連接BO′、BC．在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，

當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．

【解答】如圖，連接BO′、BC．

∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，

∴在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，

∵O′E BE≥O′B，∴當O′、E、B共線時，BE的值最小，

最小值為O′B﹣O′E＝√13﹣2

【點評】本題考查圓綜合題、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是确定等E的運動軌迹是以AC為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中 壓軸題．

例4．（2018•貴陽中考題）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，設△OPE的内心為M，連接OM、PM．

（1）求∠OMP的度數；

（2）當點P在半圓上從點B運動到點A時，求内心M所經過的路徑長．

【分析】（1）先判斷出∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出結論；

（2）分兩種情況，當點M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO＝135°，進而判斷出點M的軌迹，再求出∠OO'C＝90°，最後用弧長公式即可得出結論．

【解答】（1）∵△OPE的内心為M，

∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE）＝180°﹣1/2（180°﹣90°）＝135°，

（2）如圖，∵OP＝OC，OM＝OM，

而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以點M在以OC為弦，并且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；

點M在扇形BOC内時，

過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，

在優弧CO取點D，連DA，DO，

∵∠CMO＝135°，

∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

【點評】本題考查了弧長的計算,同時考查了三角形内心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的内接四邊形的性質，解題的關鍵是正确尋找點M的運動軌迹，屬于中考選擇題中的壓軸題．

【歸納小結】對于變化萬千的題目，如何抓住本質？一般來說，初中階段的題還是以定角為背景，我們可以一分為二來看．若邊不變，則“定邊對定角”，三角形外接圓是不變的，在這不變中，我們可以求定值，如弦長，運動的軌迹長．也可以尋找其中變化的量，來求線段的最值．若邊在變化，則“動邊對定角”，三角形外接圓處在變化中，我們要找其中的不變量或者變量之間的不等關系來建立不等式，從而求出（最）值．

牛刀小試：

1．（2018秋•江漢區校級月考）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，點D是AB上一點，以CD為邊作等邊△CDE，使A、E位于BC異側．當D點從A點運動到B點，E點運動的路徑長為_______

2．（2018•港南區二模）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，點E是AB邊上的動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為F，當點E從點A運動到點B時，點F的運動路徑長為_______

【練習答案】1. 3；

2．2π/3

【提示】因為∠AFB＝90°，推出點F的運動軌迹是以BC為直徑的，圓弧BM，求出圓心角∠BOM即可解決問題；

簡單地說求軌迹問題解題策略：1.特殊探究，一般推證；2.動手實踐，操作确認；3.建立聯系，計算說明。

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