一道初中題-求圓的半徑的平方
若一個圓的半徑為r, 該圓的一個弦長AB=10, 另一個弦長CD=7, 當AB和CD延長後經過B和C點後交于圓外的一點P, 若∠APD=60°, 且BP=8, 求圓的半徑r的平方。
解:利用圓的割線定理可以求出PC的長度, 因為:
PC·PD=PB·PA
設PC=x, 那麼PD=x 7, 因此:
x(x 7)=8·18
解這個方程可以求出x=9,
如圖連接BD, 同時連接AD,
因為PD=PC DC=9 7=16,
在三角形PBD中,由于∠P=60度, 而BP=2BP, 這與30°-60°-90°的三角形關系是吻合的,這相當于兩個三角形全等,所以△PBD是直角三角形。
因此DB垂直于AB, 所以AD是圓的直徑。
在直角三角形BPD中可以求出BD=8√3
在直角三角形ABD中用勾股定理可以求出AD的平方,即直徑的平方,
即:
帶入數值,可以求得:
AD·AD=292,
而半徑的平方是直徑的平方的四分之一,
所以
關于圓的割線定理的證明,可以通過相似形證明。
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