靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 202

手機密碼

小明五次輸入四位數的手機密碼均有誤，但是每次輸入的密碼中有兩位數字正确，位置都不對。現求小明正确的四位數手機密碼？

五次手機密碼分别是：6087 5173 1358 3825 2531

★ 右下角寫留言或點擊左下角的閱讀原文進入答題頁面，直接在帖子後面回複你的答案。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案将在下期公布。

★ 公衆号中回複題友會申請加入題友會微信群，與題霸們一起刷題。

上期問題回顧

NO. 201

循環報數

2016名學生站成一列，從排頭到排尾報數，報平方數的人出列。報完一遍後再從排頭到排尾重新報數，報平方數的出列……上述過程不斷進行，問最後一個出列的第一次報數時報的是幾号？

分析與解答

答案：1981。

下面這個三角形數表經常會出現在初中或高中數學平常的練習中，考得簡單一點可能會問你第n行的最後一個數是多少？聰明的同學很快就會發現這個三角形數學的右邊這條邊上的數都是平方數。

其實上述三角形數表蘊含着一個非常重要的公式，這個公式就是：

也就是前n個奇數的和為n²。這個看似沒什麼用武之地的數表在這裡将發揮大作用，把這道題和這個三角形數表聯系起來的紐帶就是平方數。

本期循環報數的問題可轉化為在三角形數表中劃數的問題：在三角形數表中，先劃掉平方數，然後對剩下的數按從小到大的順序重新編号，把編号為平方數的數劃掉，依次重複此操作直至剩下最後一個數，求最後剩下的這個數在原三角形數表中是什麼數。

當然，為了尋找到破解該問題的鑰匙，我們先從小處着手，并且隻考慮學生數恰好為平方數的情況。

下面的步驟，建議你拿出紙和筆，用筆在紙上畫一畫。

對于9個數、16個數、25個數的三角形數表，根據劃數規則，如上圖所示，第一次劃掉的都是三角形最右邊斜邊（紅線）上的數，第二次劃掉的是靠近中間藍線上的數，接下來都是依次劃掉一條紅色斜線上的數，然後再劃掉一條藍色豎線上的數。最後剩下的是最後一行中間的那個數，即圖中用綠色圓圈标記的數。

推廣到一般情形，有結論：對于有n²個數的三角形數表，按照上述劃數規則，最後一個被劃掉的數是原三角形數表最後一行中間的那個數。

對于以上結論，是由歸納法得到的，對于由歸納法得到的結論是不能保證一定正确的，作為數學的嚴謹性來說，應該予以證明，在這裡我将在文末以附錄的形式給出，你也不妨思考一下如何證明。下面我們繼續讨論該問題。

上述結論隻是結出了n²個數時的答案，對于非平方數，答案又是什麼呢？以三角形數表中的最中間一列數（指1，3，7，13，…那一列數）為界線，如果最大的數位于界線右側，則最後劃掉的數為最後一行最中間的那個數；如果最大的數位于界線左側，則最後劃掉的數為最後一行最左邊的那個數。（該結論留給各位題友自己去探索）

有了以上的分析和探索，我們很容易知道，對于2016個數的情況，最後一個被劃掉的數1981，也就是本期問題的答案。

注：本題也可以用正方形數表來做，參見題友解答精選中鄒家俊老師的解答。

題友解答精選

◎題友 @鄒家俊的解答：

◎題友 @卞愛華的解答：

最後出列的是1981号。聯想到公式1 3 …… 2n-1=n²，将所有人排成方陣。容易證明，第1次出列的是第1排，第2次出列的是對角線，這個過程将循環出現。可以看出，最後一個出列的，要麼是左下角n² 1，要麼是右下角n² n 1。本題的情況是右下角44² 45。（配合上述圖形理解）

◎題友 @樂樂的解答：

最後出列的是1981号。我們把這個過程倒過來看，最後一次出列的是當時的1号，倒數第二次時能留到最後的是當時的2号，倒數第三次時能留到最後的是當時的3号，倒數第四次能留到最後的是當時的5号，……不難看出，倒數第2k次能留到最後的是當時的k^2 1号，倒數第2k 1次能留到最後的是當時的k^2 k 1号。回到本題，2016人可以經過89輪報數，初始位置為44^2 44 1=1981的人最後退出。

附錄：

本附錄将證明文中提到的推廣到一般情形的結論：對于有n²個數的三角形數表，按照上述劃數規則，最後一個被劃掉的數是原三角形數表最後一行中間的那個數。

證明：根據三角形數表的排列律可知，第k行最後一個數為k²，第一個數（即最左邊那個數）為(k-1)² 1=k²-2k 2，最中間那個數為(k² k²-2k 2)/2=k²-k 1，最中間左邊第一個數為k²-k。

對于有n²個數的三角形數表，第一次我們劃掉的是三角形右邊斜邊上的數，共有n個，此時還剩下n²-n個數。如果将剩下的數重新編号，現在我們來考慮中間那一列的左邊第一列的數，原來的編号為k²-k，因為删掉了三角形右邊斜邊上的數，重新編号之後為k²-k-(k-1)=(k-1)²，是一個平方數，所以第二次劃數時應該全部劃掉，共有n-1個。經過兩次劃數之後，還剩下n²-n-(n-1)=(n-1)²。剩下的數正好組成一個(n-1)²的數表，我們又可以按上述規則分别把三角形右邊斜邊上的數以及中間一列的左邊第一列數給劃掉，依此進行下去，最後将隻剩下第n行最中間那個數k²-k 1。

點擊下方“閱讀原文”開始答題

↓↓↓

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!