本文分為兩個部分，第一部分是一道幾何題的解析，第二部分是題目升級和升級後的解析。題目升級後難度大大增加，但我們得到的收獲也更多。知識拓展部分介紹了歐幾裡得定理和垂線定理。祝閱讀愉快。

小學五年級數學作業有這樣一道題：題目看下圖。

求正方形BCDF的面積

先審題，由題意可知，直角邊AB=15厘米，直角邊BE=10厘米，要求的未知數是正方形BCDF的邊長。這裡介紹兩種解題思路和方法。在解題之前，先思考一下，這個圖形是怎麼作圖的呢？

答案很簡單，B角是直角，作它的角平分線與斜邊交于點F，就得到了正方形的一個頂點。再從點F出發，依次作它與兩條直角邊的垂線，得到兩個交點D和C，于是我們就作出了給定直角三角形内的最大正方形。

下面開始解題。先講一個普通思路，再講一個比較巧妙的方法，需要想象力的方法。

用一條輔助線解決戰鬥

先看圖，上圖在題目所給出的圖形上添加了一條輔助線BE，把直角三角形ABE分為三角形ABF和三角形BEF。接下來就是用代數方法解決幾何問題。

設正方形的邊長為X，根據兩個小三角形面積之和等于大三角形面積的等量關系，列方程式求解未知數X：

15X÷2 10X÷2=10×15÷2

解方程得出X=6（厘米）

于是，正方形面積=6×6=36（cm²）

列方程式是萬能方法，簡單粗暴，幹脆利落就解決戰鬥了。

再介紹一個需要想象力的拼圖方法求正方形面積。請看下圖：

把題目所給的圖形複制一份，再切割成3塊

這個方法也可以稱為割補法。把這兩個一模一樣的直角三角形如圖切成3塊，再按下圖的形狀拼圖：

拼圖構成一個長方形

因為正方形的邊長是上圖直角三角形切割後的3塊的公共邊，所以可以拼成一個長方形。觀察這個長方形，容易看出，長方形的短邊是正方形的邊長，長邊是10 15=25（cm），這個長方形的面積很容易計算，它等于兩個題目所給出的直角三角形之和，即10×15=150（cm²），那麼正方形的邊長就是：

150÷（10 15）=6（cm）

題目做完了，就萬事大吉了嗎？

不，還應該再想一想，多想幾個假如。

把題目改為：直角三角形 ADF 中，直角邊AD為 15 厘米，直角三角形 CEF 中，直角邊CE為 10 厘米，在直角三角形ABE内作一個最大的正方形，求正方形的面積。

那麼該怎麼做呢？

題目難度升級1

如果列方程式來解題，就會涉及到一元二次方程。還有更好的方法，不過需要我們展開想象力的翅膀。沒有想象力就沒有沙漠中的拉斯維加斯，讓我們構造一個輔助圖形，揮出開掘沙漠的第一鋤。請看下圖：

題目難度升級1解答圖

請看解答圖，虛線畫出的輔助圖形中，我們把直角三角形補全為一個長方形，這個長方形由兩個全等的直角三角形構成。容易看出，虛線的長方形面積和正方形BCDF面積相等，因為兩個全等三角形減去的面積相等，剩下部分的面積雖然形狀不同，但面積當然相等。

于是，正方形BCDF的面積心算即可得出答案：15×10=150（cm²）

題目難度再次升級，請看下圖：

題目難度升級2

這次已知的數據變成了斜邊的兩部分，長度分别為15cm和10cm，問三角形ADF和三角形CEF的面積之和是多少？問正方形的面積是多少？

由于題目難度再次升級，導緻前兩題用過的方法不夠用了，需要我們的想象力展開翅膀飛得更高飛得更遠。再次審題，看看已知條件能夠提供什麼有用信息。我們發現角AED 角CEF=90°，這就給了我們一個提示，可以再次玩拼圖遊戲，把這兩小三角形拼成一個中三角形，請看下圖：

題目難度升級2解答圖

我們把小三角形CEF移動到正方形内部，變成了小三角形DFH。于是兩個小三角形拼成了中三角形AFH。已知角1 角2=90°，角3=角2，那麼角1 角3=90°，所以三角形AFH是直角三角形，它的面積等于三角形ADF和三角形CEF的面積之和。因為直角三角形AFH的兩條直角邊是已知數據10和15，所以心算即可得出它的面積是10×15÷2=75（cm²）問題的第一問已經圓滿解決了。

再看第二問，求正方形的面積。觀察中三角形AFH，我們發現三角形ADF和三角形DFH的公共邊DF是要求的正方形的邊長，也是直角三角形AFH斜邊上的垂線和高，于是問題就可以轉化為下面這個問題了，請看下圖：

已知直角三角形三條邊的長度

圖中的線段AD相當于正方形的邊長，它是三角形ABC的高，把斜邊BC分為BD和CD兩個部分，把三角形ABC分為兩個小三角形ABD和ACD。隻有求出AD的長度，就知道了正方形的面積。

我們用兩種方法來計算圖中角B的正弦，在三角形ABD中，sinB=對邊：斜邊=AD：AB=AD：6；在三角形ABC中，sinB=對邊：斜邊=AC：BC=8：10，于是得到

AD：6=8：10，

即AD=4.8（cm），用勾股定理可得BD=3.6cm，CD=10-3.6=6.4cm

用小學生能夠聽懂的方法來計算AD的長度應該用面積法：用兩種方法計算三角形ABC的面積，可得

6×8÷2=高×10÷2

即AD=4.8（cm），用勾股定理可得BD=3.6cm，CD=10-3.6=6.4cm

圖中的AD不僅是三角形ABC的高，它還是線段BD和CD的比例中項，即

BD：AD=AD：CD

于是我們知道了3.6和6.4這兩個數的幾何平均數是4.8

如果你知道歐幾裡得定理，就能夠知道更多關于三角形ABC的信息。

歐幾裡得定理：在一直角邊上的正方形面積和一個長方形的面積相等，這長方形的一邊是這直角邊在斜邊上的投影，另一邊是斜邊本身。

解釋一下：定理告訴我們，以線段AB為邊作一個正方形，它的面積等于BD×BC，即

AB×AB=BD×BC，也就是6×6=3.6×10

以線段AC為邊作一個正方形，它的面積等于CD×BC，即

AC×AC=CD×BC，也就是8×8=6.4×10

關于直角三角形還有一個有趣的定理是垂線定理：

在直角三角形中，以斜邊上的垂線為邊的正方形面積等于以斜邊上兩線段為邊的長方形的面積。

在直角三角形ABC中，即AD²=BD×CD，也就是

4.8×4.8=3.6×6.4

驗算一下：4.8×4.8=23.04

3.6×6.4=23.04

我們再回頭看看題目難度升級2這張圖，已知AF=15，EF=10，我們就能夠計算出正方形的邊長DF以及三角形ADF和三角形CEF三條邊的長度。

總結：普通的數學作業都需要豐富的想象力，可見數學不僅僅是邏輯推理和數字運算，更需要靈活的數學思維和觀察力、想象力和洞察力。阿基米德比荷馬更富有想象力。（阿基米德是古希臘數學家，荷馬是盲人詩人）曆史上的數學難題的攻克都是凝聚着偉大的數學家智慧和汗水的無與倫比的傑作。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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