八年級下冊數學總複習? 第十六章 二次根式，下面我們就來說一說關于八年級下冊數學總複習?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

八年級下冊數學總複習

第十六章 二次根式

知識點一：二次根式的概念

【知識要點】

二次根式的定義：形如

的式子叫二次根式，其中

叫被開方數，隻有當

是一個非負數時，

才有意義．

【典型例題】

題型一：二次根式的判定

【例1】下列各式1）

，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

題型二：二次根式有意義

【例2】若式子

有意義，則x的取值範圍是 ．

題型三：二次根式定義的運用

【例3】若y=

2009，則x y=

解題思路：式

子

（a≥0），

，y=2009，則x y=2014

題型四：二次根式的整數與小數部分

已知a是

整數部分，b是

的小數部分，求

的值。

若

的整數部分是a，小數部分是b，則

。

若

的整數部分為x，小數部分為y，求

的值.

知識點二：二次根式的性質

【知識要點】

1. 非負性：

是一個非負數．

注意：此性質可作公式記住，後面根式運算中經常用到．

2.

．

注意：此性質既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數或非負代數式寫成完全平方的形式：

3.

注意：（1）字母不一定是正數．

（2）能開得盡方的因式移到根号外時，必須用它的算術平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應把負号留在根号外．

4. 公式

與

的區别與聯系

（1）

表示求一個數的平方的算術根，a的範圍是一切實數．

（2）

表示一個數的算術平方根的平方，a的範圍是非負數．

（3）

和

的運算結果都是非負的．

【典型例題】

題型一：二次根式的雙重非負性

【例4】若

則

．

題型二：二次根式的性質2 （公式

的運用）

【例5】 化簡：

的結果為（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

題型三：二次根式的性質3 （公式

的應用）

【例6】已知

,則化簡

的結果是

A、

B、

C、

D、

知識點三：最簡二次根式和同類二次根式

【知識要點】

1、最簡二次根式：

（1）最簡二次根式的定義：①被開方數是整數，因式是整式；②被開方數中不含能開得盡方的數或因式．

2、同類二次根式（可合并根式）：

幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式。

【典型例題】

【例7】在根式1)

，最簡二次根式是（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

解題思路：掌握最簡二次根式的條件。

知識點四：二次根式計算——分母有理化

【知識要點】

1．分母有理化

定義：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：

兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①單項二次根式：利用

來确定，如：

，

，

與

等分别互為有理化因式。

②兩項二次根式：利用平方差公式來确定。如

與

，

，

分别互為有理化因式。

3．分母有理化的方法與步驟：

①先将分子、分母化成最簡二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最後結果必須化成最簡二次根式或有理式。

【典型例題】

【例8】 把下列各式分母有理化

（1）

（2）

（3）

（4）

【例9】把下列各式分母有理化

（1）

（2）

（3）

（4）

【例10】把下列各式分母有理化：

（1）

（2）

（3）

小結：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：

①

與

； ②

與

；

③

與

； ④

與

．

知識點五：二次根式計算——二次根式的乘除

【知識要點】

1．積的算術平方根的性質：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。

=

·

（a≥0，b≥0）

2．二次根式的乘法法則：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。

·

＝

．（a≥0，b≥0）

3．商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根

=

（a≥0，b>0）

4．二次根式的除法法則：兩個數的算術平方根的商，等于這兩個數的商的算術平方根。

=

（a≥0，b>0）

注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值範圍，最後把運算結果化成最簡二次根式．

【典型例題】

【例11】化簡

(1)

(2)

(3)

【例12】計算（1）

（2）

（3）

（4）

知識點六：二次根式計算——二次根式的加減

【知識要點】

需要先把二次根式化簡，然後把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）的系數相加減，被開方數不變。

注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數．

【典型例題】

【例13】計算

（1）

； （2）

；

【例14】 （1）

（2）

知識點七：二次根式計算——二次根式的混合計算與求值

【知識要點】

1、确定運算順序；

2、靈活運用運算定律；

3、正确使用乘法公式；

4、大多數分母有理化要及時；

5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化；

【典型習題】

1、

2、 (2 4－3)

【例15】 1．已知：

，求

的值．

知識點八：根式比較大小

【知識要點】

1、根式變形法 當

時，①如果

，則

；②如果

，則

。

2、平方法 當

時，①如果

，則

；②如果

，則

。

3、分母有理化法 通過分母有理化，利用分子的大小來比較。

4、分子有理化法 通過分子有理化，利用分母的大小來比較。

5、倒數法

6、媒介傳遞法 适當選擇介于兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。

7、作差比較法

在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：①

；②

8、求商比較法

9、它運用如下性質：當a>0，b>0時，則：①

； ②

【典型例題】

【例16】 比較

與

的大小。（用兩種方法解答）

【例17】比較

與

的大小。

一 元 二 次 方 程

一、知識結構：

一元二次方程

二、考點精析

考點一、概念

(1)定義：^①隻含有一個未知數，并且^②未知數的最高次數是2，這樣的^③整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表達式：

⑶難點：如何理解 “未知數的最高次數是2”：

①該項系數不為“0”；

②未知數指數為“2”；

③若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定，則需建立方程或不等式加以讨論。

典型例題：

例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）

A、

B、

C、

D、

變式：當k 時，關于x的方程

是一元二次方程。

例2、方程

是關于x的一元二次方程，則m的值為 。

考點二、方程的解

⑴概念：使方程兩邊相等的未知數的值，就是方程的解。

⑵應用：利用根的概念求代數式的值；

典型例題：

例1、已知

的值為2，則

的值為 。

考點三、解法

⑴方法：①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵關鍵點：降次

類型一、直接開方法：

※※對于

，

等形式均适用直接開方法

典型例題：

例1、解方程：

=0;

例2、若

，則x的值為 。

類型二、因式分解法:

※方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，

※方程形式：如

，

，

典型例題：

例1、

的根為（ ）

A

B

C

D

例2、若

，則4x y的值為 。

例3、方程

的解為（ ）

A.

B.

C.

D.

例4、解方程：

例5、已知

,則

的值為 。

類型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式

的值或極值之類的問題。

典型例題：

例1、 試用配方法說明

的值恒大于0。

例2、 已知x、y為實數，求代數式

的最小值。

例3、 已知

為實數，求

的值。

例4、 分解因式：

類型四、公式法

⑴條件：

⑵公式：

,

典型例題：

例1、選擇适當方法解下列方程：

⑴

⑵

⑶

例2、在實數範圍内分解因式：

（1）

；（2）

. ⑶

說明：①對于二次三項式

的因式分解，如果在有理數範圍内不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令

=0，求兩根，再寫成

=

.②分解結果是否把二次項系數乘進括号内，取決于能否把括号内的分母化去.

類型五、 “降次思想”的應用

⑴求代數式的值； ⑵解二元二次方程組。

典型例題：

例1、 已知

，求代數式

的值。

例2、如果

，那麼代數式

的值。

說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都體現了一種共同的數學思想——化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題.

考點四、根的判别式

根的判别式的作用：

①定根的個數；②求待定系數的值；③應用于其它。

典型例題：

例1、若關于

的方程

有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是 。

例2、關于x的方程

有實數根，則m的取值範圍是( )

A.

B.

C.

D.

例3、已知關于x的方程

(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數根；

(2)若等腰

ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求

ABC的周長。

例4、已知二次三項式

是一個完全平方式，試求

的值.

例5、

為何值時，方程組

有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解？

考點五、方程類問題中的“分類讨論”

典型例題：

例1、關于x的方程

⑴有兩個實數根，則m為 ,⑵隻有一個根，則m為 。

例2、 不解方程，判斷關于x的方程

根的情況。

例3、 如果關于x的方程

及方程

均有實數根，問這兩方程

是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。

考點六、應用解答題

⑴“碰面”問題；⑵“複利率”問題；⑶“幾何”問題；

⑷“最值”型問題；⑸“圖表”類問題

考點七、根與系數的關系

⑴前提：對于

而言，當滿足①

、②

時，

才能用韋達定理。⑵主要内容：

⑶應用：整體代入求值。典型例題：

例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程

的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ）

A.

B.3 C.6 D.

例2、已知關于x的方程

有兩個不相等的實數根

，

（1）求k的取值範圍；

（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

例3、小明和小紅一起做作業，在解一道一元二次方程（二次項系數為1）時，小明因看錯常數項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項系數，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什麼嗎？其正确解應該是多少？

例4、已知

，

，

，求

變式：若

，

，則

的值為 。

例5、已知

是方程

的兩個根，那麼

.

針對練習：

1、解方程組

2．已知

，

，求

的值。

3、已知

是方程

的兩實數根，求

的值。

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