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如何用待定系數法求二次函數解析式？隻需要記住下面的1、2、3

1——如果二次函數解析式中隻有一個字母,隻需要找到函數圖象上一個點的坐标代入即可；

2——如果二次函數解析式中有兩個字母,則需要找到函數圖象上兩個點的坐标代入即可；

3——如果二次函數解析式中有三個字母,通常需要找到函數圖象上三個點的坐标代入即可.

當然，求的過程中還要善于使用交點式、頂點式和一般式的特點，才能讓問題變得簡單。

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專題(四)　求二次函數的解析式

類型1　已知二次函數解析式,确定各項的系數

如果二次函數解析式中隻有一個字母,隻需要找到函數圖象上一個點的坐标代入即可；如果二次函數解析式中有兩個字母,則需要找到函數圖象上兩個點的坐标代入即可；如果二次函數解析式中有三個字母,通常需要找到函數圖象上三個點的坐标代入即可.

1.若抛物線y＝－ax2－4ax－的圖象經過點A(－3,0),則該抛物線的解析式是y＝－x2－x－.

2.已知抛物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點,B點坐标為(3,0),與y軸交于點C(0,－3),則該抛物線的解析式是y＝x2－2x－3.

3.如圖,已知抛物線y＝ax2－x＋c與x軸相交于A、B兩點,并與直線y＝x－2交于B、C兩點,其中點C是直線y＝x－2與y軸的交點,求抛物線的解析式.

解：∵直線y＝x－2交x軸、y軸于B、C兩點,

∴B(4,0),C(0,－2).

∵y＝ax2－x＋c經過點B、C,

∴解得

∴y＝x2－x－2.

類型2　利用“三點式”求二次函數解析式

如果已知函數圖象上三點的坐标,通常設二次函數解析式為y＝ax2＋bx＋c.

4.已知二次函數的圖象經過點(－1,－5),(0,－4)和(1,1),則這個二次函數的解析式為(D)

A.y＝－6x2＋3x＋4

B.y＝－2x2＋3x－4

C.y＝x2＋2x－4

D.y＝2x2＋3x－4

5.如圖所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的邊長為2 cm,點A,C分别在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,抛物線經過點A,B和D(4,－).求抛物線的解析式.

解：設抛物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c.

由題意,得A(0,－2),B(2,－2),

因為抛物線y＝ax2＋bx＋c過A,B,D三點,将三點坐标代入,得

解得

所以抛物線的解析式為y＝x2－x－2.

類型3　利用“頂點式”求二次函數解析式

如果已知二次函數頂點和圖象上另一點,則設二次函數解析式為y＝a(x－h)2＋k.如果已知對稱軸、最大值(最小值)或者二次函數的增減性也考慮利用“頂點式”.

6.已知二次函數的圖象經過點(1,10),頂點坐标為(－1,－2),則此二次函數的解析式為(A)

A.y＝3x2＋6x＋1 B.y＝3x2＋6x－1

C.y＝3x2－6x＋1 D.y＝－3x2－6x＋1

7.(普陀區一模)如圖,已知二次函數的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,6),對稱軸為直線x＝2,求二次函數的解析式并寫出圖象最低點坐标.

解：設二次函數的解析式為y＝a(x－2)2＋k.

把A(1,0),C(0,6)代入,得

解得

則二次函數的解析式為y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6,二次函數圖象最低點坐标為(2,－2).

類型4　利用“交點式”求二次函數解析式

如果已知二次函數圖象與x軸的兩個交點為(x1,0),(x2,0),那麼設二次函數解析式為y＝a(x－x1)(x－x2).

8.如圖,在平面直角坐标系xOy中,點A、B、C分别為坐标軸上的三個點,且OA＝1,OB＝3,OC＝4,則經過A、B、C三點的抛物線的解析式為y＝－(x＋4)(x－1).

9.已知二次函數對稱軸為直線x＝2,且在x軸上截得的線段長為6,與y軸交點為(0,－2),求此二次函數的解析式.

解：∵抛物線的對稱軸為直線x＝2,且在x軸上截得的線段長為6,

∴抛物線與x軸兩交點為(－1,0),(5,0).

∴設二次函數的解析式為y＝a(x＋1)(x－5).

将點(0,－2)代入上式,得－2＝a(0＋1)(0－5),

∴a＝.

∴二次函數的解析式為y＝(x＋1)(x－5),

即y＝x2－x－2.

類型5　利用“平移”或“翻折”求二次函數解析式

利用“平移”或“翻折”求二次函數解析式的一般步驟為：(1)先根據平移規律或折疊的性質求出平移或翻折後的抛物線的頂點坐标；(2)根據平移不改變抛物線的形狀和大小,翻折後的抛物線與原抛物線的形狀、大小相同,但開口方向相反,确定a的值；(3)利用頂點式,設平移或翻折後的抛物線的解析式是y＝a(x－h)2＋k,再代入a的值和頂點坐标,即可求出平移或翻折後的抛物線的解析式.

10.已知抛物線C0的解析式為y＝2x2＋x.

将抛物線C0向左平移1個單位長度,得到抛物線C1,則抛物線C1的解析式為y＝2x2＋5x＋3.

11.已知二次函數y＝－3x2＋1的圖象如圖所示,将其沿x軸翻折後得到的抛物線的解析式為(D)

A.y＝－3x2－1

B.y＝3x2

C.y＝3x2＋1

D.y＝3x2－1

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