本文作者：殷堰工，[遇見] 感謝殷教授的投稿支持。

學習和研究數學離不開解題，我國古典名著《九章算術》以九卷，246 道題目及其解答術構成篇章，堪稱解題研究的開山之作。

如果僅從數學的形态上研究解題，那麼隐藏于數學理論之中的美的信息于解題的作用可以說是潛在的、深層的。數學美不僅是一種審美标準，而且還是我們進行創造性思維活動的行為準則。

數學的簡潔美、對稱美、統一美、和諧美和奇異美等美的特征就是一種誘因，當我們用數學美來審視問題、解決問題時，數學審美活動能啟發沖破舊的思維框框，開拓新穎巧妙的解決問題的思路，具有不可忽視的巨大潛力。

深孚衆望大數學家龐加萊說過“邏輯是證明的工具，直覺是發現的工具”，在數學解題的過程中，不僅需要具備一定的邏輯思維，更重要的是要對數學産生一種直覺和審美。具體來講，美的觀點一旦與題目的條件與結論的特征相結合，就能憑借已有的知識和經驗産生審美直覺，從而确定解題的總體思路和入手方向。

因此，數學美既是一種審美标準，即，一旦題目提供的知識信息與解題者的審美情感吻合，那麼這種審美效應還可以直接作用于解題，更能在解題中的思維過程中起着宏觀調控的作用。這裡舉兩個由美因誘發解題思路的實例：

例 1：在 △ABC 中，AD⊥BC，D 在 BC 上，已知 ∠ABC ＞ ∠ACB，P 是 AD 上的任一點，證明：AC BP ＜ AB PC.

分析：AC、BP（或 AB、PC）聯系不大，由此想到補形求完美，試圖利用對稱轉換到一起——在同一個三角形中，則利用相似比例找規律。因為 AD⊥BC，以 AD 為對稱軸，取 B 點的對稱點 E，這樣 BP 和 AB 分别被 PE 和 AE 取代，容易用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”得證，解題思路變得“柳暗花明”。

例 2：求 sin10°sin30°sin50°sin70° 的值.

分析： 考慮到 sinα cosα=1/2sin2α,在對稱美的感召下，可用它的對稱式(對偶式)助解:令 x=sin10°sin30°sin50°sin70°，y= cos10° cos30° cos50° cos70°，于是，問題迎刃而解。

類似地，可求 sin²20° ＋ cos²80° ＋ √3sin20°cos80° 的值。

德國教育家魏爾曾說：美與對稱性緊密相關。對稱是最能給人以美感的一種形式，對稱性是數學發現與創造中的重要的美學因素。從美的角度進行審視，可以發現内在的本質的特點，解題時一旦題目提供的知識信息與學生的審美情感吻合，就會激起學生的審美直覺，從而迅速、正确地确定解題思路和解題方法。可以認為，數學解題作為一種審美活動，是審美情感支配下對數學美的一種追求。

下面再看一個非常典型的例子：

例 3：已知 x² y²=1，求證 -√(1 a²)≤y-ax≤√(1 a²)．

從審美的角度觀察其特征，可得到下面兩種簡捷證法：

分析 1： 不等式等價于(|y-ax|)√(1 a²)/ ≤1，左邊的結構似曾相識，仔細觀察發現正好是圓 x² y²=1 上的點到直線 y=ax 的距離，由于直線 y=ax 過圓心，故(|y-ax|)/√(1 a²)≤1 成立。

分析 2： 由 x² y²=1 聯想到可設 x=cosθ，y=sinθ 則 y-ax=sinθ-acosθ= √(1 a²)sin(θ φ)， 故|y-ax|=|√(1 a²)|sin(θ φ)≤√(1 a²)

從兩種優美的解答中發現，這是以數學審美的眼光去觀察，從數學審美的角度去思考，按數學審美的要求去猜測，有意識地用數學審美的眼光觀察、思索數學問題的外在形式上的美學特征，然後做出直覺的判斷，從而找到問題的解決方案的結果。在這裡，數學美的指導思想起了決定性的作用。

必須指出，數學解題是如此，數學創造更不例外，誠如法國著名數學家阿達瑪所說：“數學家的美感猶如一個篩子，沒有它的人，永遠成不了數學家。”數學創造離不開數學美感與審美能力的例子很多，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫建立的概率公理化體系就始于對已知概率知識雜亂無章的不滿便是一個明證。

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