黎曼猜想其實大部分人都知道，如果用一句話概括就是黎曼函數的非平凡零點的實部都是。想介紹黎曼猜想勢必離不開對黎曼函數的介紹，我們就一步步的先從最簡單的說起吧。

我們先從一個大家都知道的概念出發——數列。照字面意思解釋就是數的排列，比如下面幾個例子都是數列

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11……

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256……

45, 26, 15, 78, 34, 67, 839, 1234, 542, 779……

很顯然第一個是自然數的數列，第二個是個公比為2的等比數列，很多學霸肯定在拼命的計算第三種是啥數列，在這裡鞠個躬，不好意思沒啥規律，就是個随機數的排列，這其實也是個數列。

對于第一個數列，它的第1項是1，第2項是2，第3項是3，第n項是n；對于第二個數列，它的第1項是21，第2項是22，第3項是23，第n項是2n。n和2n就是所謂的通項，就是用項數n來表示數列第n項的值。我們一般用Sn表示數列前n項的和，初中數學教過我們等比和等差數列的求和公式，這裡不列出了，因為和題目沒什麼關系。

說穿了級數就是數列前n項求和，就是我們上面提到的Sn，隻不過換了一個更高大上的名字而已。無窮級數顧名思義，就是數列無窮項求和的值（這個值不一定存在）。

這個概念看似複雜，其實隻是說上面提到的無窮級數的和是否存在的問題。如果存在就說級數收斂，如果不存在就說級數發散。這裡所說的存在是要一個确定的具體的數，無窮大不算。（當然收斂還分絕對收斂和條件收斂，這裡并不牽涉到，就暫時不說了）

調和級數指的是這麼一個特殊的無窮級數，它是從1開始所有自然數的倒數的和，如下：

這個級數非常重要，請容許我這裡多廢話幾句。

14世紀晚期，奧雷姆提出了對于調和級數趨于無窮大的證明，這個證明在今天看來也是十分簡單易懂的。推導過程如下：

數學上對于這些級數以及無窮大和無窮小的量的研究被統稱為分析。此後大數學家歐拉也對調和級數有更深入的研究，在1748年出版的關于分析的教科書中把它叫做《無窮小的分析引論》。（後面我們還要不斷的提到這位大數學家。歐拉可以說是史上最多産的以為數學家，據統計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論占40%，幾何占18%，物理和力學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建築學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．）由于對于無窮大和無窮小的運用的不嚴謹導緻了數學上的大混亂，也是第二次數學危機的源頭。經過将近200年的時間，數學家的不斷努力，最終将這兩個概念提出了現代數學理論。并給于了微積分嚴謹的數學理論基礎——極限。我上面提到的無窮大其實應該表述為，對于任意的數S，無論它多大，最終級數的和都會超過他。但是這樣的表述有些繁瑣，我就簡單的稱為無窮大了。

歐拉畫像

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