中學生課外讀物《數的産生與發展》（特殊的實數）

一.圓周率π

（一）π定義及近似值

圓周率是圓的周長與直徑的比值，一般用字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。

π是精确計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。

π是一個常數，約等于3.141592654，它的精确值是一個無理數，即無限不循環小數。

在日常生活、生産、科學實驗中，通常用π的近似值進行計算。工程師或物理學家要進行較精密的計算，隻需取值至小數點後幾百個位。其它常用計算隻需要精确到小數後3至10位。

（二）π的幾個計算公式

①

注意到它是一個無窮的根式結構，整個公式隻用到了數字2！

②

這個公式是一個無窮乘積，形式上很簡潔。

③

這個連分數的分子依次為1，2，3，4，5，6，7，…

④

這個中含e（見後），階乘，總體為積的運算。

⑤

這個中連分數分子為正整數平方。

⑥

這個與素數有關。

⑦高精度計算π的公式

這個簡單而又優美的公式，不是π的精确公式，卻可以将π精确到小數點後420億位！

二.自然常數e

1.e的由來

自然常數e ，是自然對數函數的底數。它是數學中最重要的常數之一，是一個無理數，就是說跟 π 一樣是無限不循環小數，在小數點後面無窮無盡，永不重複......

無理數圓周率 π 和 √2， 是由數學家研究幾何問題時發現的，而e則出自于一個金融問題，是用來表示增長率和變化率的常數，很多增長與衰減過程中都出現了 e 的身影。

2.e 與複利問題

假設某人在銀行存了 1 塊錢本金，而銀行提供的年利率是 100%。這樣的話，1 年後連本帶息，将會得到 2 塊錢，這個非常容易理解。

假設存1元，半年就計算一次利息，半年利率為 50%，這樣在下半年中，上半年的利息0.5元可以作為本金再次生息。年終可得（1＋0.5）×（1＋0.5）＝2.25元。

同樣這個問題，假設每個月計算一次利息，而月利率為 1/12 ，按複利計算，年終可得到大約 2.61304 塊錢。

一般來說，我們将一年等分為n段，每段時間按複利1／n結息一次，那麼年終會得到多少錢呢？年終可得（1＋1／n）＾n元。

下面可看n值變動時收入值變動情況：

若分期數n趨向于＋∞，年終收入值會是多少？即下式值為多少？

經過一段時間努力，人們得到了 e 的小數點後 18 位的一個近似值：2.718281828459045235，這就是描述增長率的自然常量 e 。

現在也有直接用下式來定義e：

3.e 是無理數

後來人們證明了，e是一個正常數，且是一個無理數。

三.代數數與超越數

1.代數數

我們把系數為全為整數的多項式方程的複數根叫代數數。

顯然nx-m＝0（m，n為整數，n≠0）的解可以是任一有理數。可見代數數集包含了有理數集。

因x＾2＝2的解為±√2，x＾2＋1＝0的解為±i（i為虛數單位，相對于實數來說，是新數），x＾3＝3的解為三次根号3，所以±√2，±i，三次根号3都是代數數。

可以證明，代數數集并不包含全部實數。

代數數集是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的連續數集，因此，一定存在不是代數數的實數。

現已證明 π和e這些無理數不是代數數。

2.代數數有下列性質：

代數數在有理數下的“ ”、“-”、“x”、“÷”運算中是封閉的，我們稱它們構成一個域，稱為代數數域。

可以證明，以代數數作為系數的有限次多項式的根也是代數數。

3.超越數

我們将不是代數數的實數稱為實超越數。

可見，實數可分為代數數和實超越數分為兩類。

法國數學家劉維爾早在1844年就證明了。一個無限小數：a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），不可能滿足任何整系數多項式方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。

可以證明，幾乎所有的實數都是超越數。

後來，數學家厄米特與林德曼先後證明了e與π為超越數。

可以證明：

代數數在幂運算中不是封閉的，例如2＾（√2），即2的根号2次方不是代數數，它是一個超越數。

當a為一個非零代數數時，sina，cosa，tana，e＾a都是超越數。

當a為一個大于0且不等于1的代數數時，ln a是超越數。

4.難題

超越數是不能滿足任何整系數代數方程的實數，定義恰與代數數相反。

在實數中除了代數數外，其餘的都是超越數。

但是超越數不一定是實數，比如公式：e＾（πi）＋1＝0中的πi即是一個虛超越數。

可以證明實超越數有無窮個。可是，現今發現的實超越數極少，因為要證明一個數是超越數是十分困難的。

本小結基本隻給了結論，讓我們了解有關知識。

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