由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉不變性，因此有不少題目會出現多解問題，這類題目重在考查同學們對基礎知識的掌握與運用情況，它有利于培養同學們嚴謹周密的邏輯思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓中解這類問題時，需要利用分類讨論思想，在解題時可以多考慮将圓進行折疊或旋轉。

例題1：已知點P到⊙O的最長距離為6cm，最短距離為2cm．試求⊙O的半徑長．

分析：分兩種情況進行讨論：①點P在圓内；②點P在圓外，畫出圖形，進行計算即可。

解：①當P在⊙O外時，如圖，∵P當⊙O的最長距離是為6cm，最短距離為2cm，∴PB=6cm，PA=2cm，∴AB=4cm，∴⊙O的半徑為2cm；

②當P在⊙O内時，此時AB=8cm，⊙O的半徑為4cm．

點與圓的位置關系：

設圓的半徑為r，點P到圓心的距離為d。（1）當d＜r是，點P在圓内；（2）當d=r時，點P在圓上；（3）當d＞r時，點P在圓外。

例題2：PA、PC分别切⊙O于A、C兩點，B為⊙O上與A、C不重合的點，若∠P=50°，則∠ABC=___________度

分析：根據P點位置分兩種情形分别求解．連接OA、OC；①點B在優弧上，根據圓周角定理求解；②點B在劣弧上，根據圓内接四邊形對角互補求解．解：分兩種情形，如圖所示．連接OA、OC．則OA⊥PA，OC⊥PC．∵∠P=50°，∴∠AOC=130°．

①B在優弧上，∠ABC=1/2∠AOC=1/2×130°=65°；

②B在劣弧上，∠ABC=180°-65°=115°．

一條弦對着兩條弧，一條優弧，一條劣弧，因此點也可能在優弧或劣弧上，并且得到的兩個圓周角互補。

例題3：已知圓O的直徑為6cm，如果直線l上的一點C到圓心O的距離為3cm，則直線l與圓O的位置關系是__________.

分析：求直線與圓的位置關系，關鍵是明确直線上一點到圓心的距離恰好等于圓的半徑，也就是說直線與圓至少有一個交點。注意本題的重點為“點到圓心的距離”而不是“圓心到直線的距離”。解：∵圓O的半徑r=3cm，且直線上存在一點到圓心的距離d=3cm，∴直線與圓至少有一個交點．①當圓與直線有且隻有一個交點時，交點到圓心的距離為3cm，此時直線與圓相切．②當直線與圓有兩個交點時，交點到圓心的距離為3cm．此時直線與圓相交．∴直線與圓的位置關系是相交或相切．

直線與圓的位置關系：

設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d。（1）當d＜r是，直線與圓相交；（2）當d=r時，直線與圓相切；（3）當d＞r時，直線與圓相離。

例題4：已知⊙O的半徑為5 cm，AB和CD是⊙O的弦，AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB與CD之間的距離是多少？

分析：先根據垂徑定理求出AE、CF的長，然後再根據勾股定理求出OE、OF的長；因為圓心與兩弦的位置不明确，所以分兩種情況讨論．

解：（1）當兩平行弦AB、CD可能在圓心O同側，如圖，AB與CD之間的距離為EF=OE-OF=1cm；

（2）當兩平行弦AB、CD可能在圓心O異側如圖，AB與CD之間的距離為EF=OE OF=7cm；

所以AB與CD之間的距離為1cm或7cm.

例題5：若△ABC内接于⊙O，∠AOB=100°，求圓周角∠ACB的度數．

分析：分點C在優弧和劣弧上兩種情況，當點C在優弧上時，可直接利用圓周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，當點C在劣弧上時，可以優弧上找點D，則可求得∠ADB是∠AOB的一半，再利用圓内接四邊形的性質可求得∠ACB。

解：如圖1，當點C在優弧上時，

則∠ACB=1/2∠AOB=50°；

如圖2，當點C在劣弧上時，在優弧上找點D，連接DA、DB，

則可得∠ADB=1/2∠AOB=50°，

又∵四邊形ACBD為圓的内接四邊形，

∴∠ADB ∠ACB=180°，

∴∠ACB=180°-50°=130°，

∴∠ACB的度數是50°或130°．

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