初中常見的規律有符号規律，等差數列規律，二階等差數列規律，等比數列規律、循環規律等。本文就等差數列規律，二階等差數列規律展開研究。

一、等差數列

【定義】等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數的一種數列。如：1，4，7，10，13，。。。後面的數始終比它前一項的數大3，這樣的數列就是等差數列，其中3叫公差。

【性質】小升初應當了解下列兩條性質：

① 和=（首項 末項）×項數÷2；

②項數=（末項-首項）÷公差 1；

【規律求法】

由于等差數列的通項公式為An=a1 (n-1)d ，這裡 an代表第n個數，a1代表第1個數，d表示公差。所以從 通項公式可以看出，an是n的一次函數(d≠0)或常數函數 (d=0)，即等差數列具有kn b的形式，這裡K=公差，b=首項－公差。

【例1】用菱形紙片按規律依次拼成如圖所示的圖案．第1個圖案中有5張菱形紙片；第2個圖案中有9張菱形紙片；第3個圖案中有13張菱形紙片．按此規律，第n個圖案中的菱形紙片的張數為_________

【分析】

第一步：判斷數列類型. 由于後項比前項始終大4，該數列是等差數列

第二步：計算k. 因為每次增加4，即公差為4，所以k=4

第三步：計算b. 因為首項－公差=5－4=1，所以b=1

第四步：寫出規律. 第n個數為4n 1

【例2】觀察下列兩列數：

7，10，13，16，19，22，…

7，11，15，19，23，27，…

（1）這兩列數的第100個數分别是多少？

（2）在這兩列數中，第1個相同的數是7，第2個相同的數是19，第10個相同的數是多少？

【分析（1）】

第1列數:k=公差=3，b=首項-公差=7-3=4，故第n個數為3n 4，當n=100時，第100個數為304

第2列數:k=公差=4，b=首項-公差=7-4=3，故第n個數為4n 3，當n=100時，第100個數為403

【分析（2）】∵第1個相同的數為7，第2個相同的數為19，第3個相同的數為31，由于7，19，31成等差數列，即第m個相同的數為12m-5，當m=10時，第10個相同的數為115.

二、二階等差數列

【定義】二階等差數列是指後項與前項的差值是等差數列。例如：1，3，7，13，21，31，…，後項與前項的差值依次為：2，4，6，8，10，…，這些差值是等差數列，我們稱數列1，3，7，13，21，31，…為二階等差數列。

【規律求法】二階等差數列通項的一般形式為：An=an2 bn c，類似于二次函數解析式求法，我們可用待定系數法求出其通項公式。

【例1】(難度系數☆)已知一組數：1，3，7，13，21，31，…，根據規律求第100個數。

【分析】

第一步：設。設第n個數An=an2 bn c

第二步：代。分别把n=1,An=1，n=2,An=3，n=3,An=7代入到An=an2 bn c中,得：

第三步：求。 ②－①：3a b=2 ④

③－②：5a b=4 ⑤

⑤－④：2a=2,解得a=1,b=－1,c=1

第四步：寫。即第n個數為：n2－n 1,第100個數為9901

【例2】(難度系數☆☆)觀察下列等式，請寫出第n個等式。

第1個等式： 32-1=8×1，

第2個等式： 52-1=24=8×3，

第3個等式： 72-1=48=8×6，

第4個等式： 92-1=80=8×10，

…

【分析】

第一步：找變數與不變數。觀察發現，等式左邊的底數在變化 ，等式右邊與8相乘的數在變化。

第二步：左邊底數依次為：3，5，7，9， …，顯然是等差數列規律，其公差為2，首項減公差等于1，所以第n個底為為2n 1。

第三步：右邊與8相乘的數依次為1，3，6，10， …，後項與前項的差值依次為2，4，6， …，可判斷出原數列為二階等差數列。仿照例1的待定系數法，可求出第n個數為：

總結：

等差數列規律具有一次函數的一般形式，二階等差數列具有二次函數的一般形式，凡是這樣的數列，其通項公式均可以用待定系數法計算。有了近乎“死算”的方法，相信同學們面對它們時将不會再有拆數（猜數）的煩惱。

等差數列有定法

待定系數能搞定

一階一次函數擋

二階二次函數上

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