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三角形的中位線定理不僅反映了圖形間線段的位置關系，而且還揭示了線段間的數量關系.利用三角形的中位線定理可以解決許多與三角形相關的問題。

連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

題目中有中點，特别是一個三角形中出現兩邊的中點時，我們常考慮運用三角形的中位線來解決問題。具體操作時，要先找到三角形的中位線，然後利用中位線得出線段之間的關系，并由此建立待求線段與已知線段的關系，從而求出線段的長。下面老師通過例題講解中位線定義的應用。

例:已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，

Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,連接AF，點M是AF的中點，連接MB，ME.

⑴ 如圖，當CB與CE在同一直線上時，求證:MB//CF。

⑵ 如圖，若CB=a,CE=2a，求BM,ME的長。

[解答]

證:⑴ 方法一 如圖1a延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴點B為線段AD的中點.

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△ADF的中位線，

∴BM//CF。

方法二 如圖1b，延長BM交EF于點D

∵∠ABC=∠CEF=90°,

∴AB丄CE,EF丄CE,

∴AB//EF，

∴∠BAM=∠DFM.

∵點M是AF的中點，

∴AM=MF.

∵在△ABM和△FDM中，

∠BAM=∠DFM,AM=FM，∠AMB=∠FMD，

∴△ABM≌△FDM(ASA)，

∴AB=DF.

∵BE=CE-BC,DE=EF-DF,

∴BE=DE,

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°.

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB//CF。

[題幹分析]

證法一：如圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；此方法直接運用中位線定理，也最簡單。

證法二：如圖1b所示，延長BM交EF于D，根據在同一平面内，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據兩直線平行，内錯角相等可得∠BAM=∠DFM,根據中點定義可得AM=MF，然後利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等。

再根據全等三角形對應邊相等可得AB=DF，然後求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可得證，方法雖然有點複雜，但可以拓展我們的解題思路，鍛煉我們駕馭知識運用的能力。

解⑵:方法一 如圖2a，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a,

AC=CD=√2a，

∴點B為AD的中點，又點M為AF的中點，

∴BM=½DF

分别延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=2√2a,

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，

∴ME=½AG.

∴CG=CF=2√2a,CA=CD=√2a,

∴AG=DF=√2a，

∴BM=ME=½×√2a=√2/2a

方法二 如圖,∵CB=a,CE=2a，

∴BE=CE-CB=2a-a=a.

∵△ABM≌△FDM,

∴BM=DM.

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=√2/2BE=√2/2a.

[題幹分析]

解法一:如答圖2a所示，作輔助線，推BM、ME是兩條中位線；再根據中位線的定理求解即可

解法二:先求出BE的長，再根據全等三角形對應邊相等可得BM=DM，根據等腰三角形三線合一的性質可得EM丄BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求解即可；

[解題反思]

本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判與性質和等腰直角三角形的性質。作輔助線構造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點。

三角形的中位線與中線的區别:三角形的中位線的兩個端點均為三角形邊的中點，它與第三邊平行且等于第三邊的一半；三角形中線的一個點是一邊的中點，另一個端點是這邊所對的頂點，它把三角形的面積二等分。

三角形的中位線定理，反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關系：一是位置關系，二是數量關系。位置關系可證明兩直線平行，數量關系可證明線段之間的倍分關系。

每個三角形都有三條中位線，三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形，因而每個小三角形的周長為原三角形周長的一半，每個三角形的面積為原三角形面積的四分之一。

綜上所述，三角形的中位線定理的靈活遠用，可以幫助進行邊角的計算或推理論證，解決複雜的幾何綜合題。你們認為呢？

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