數學中最重要的幾種函數?函數的連續性由實數的性質我們已經知道其具備有連續性，即連續地布滿整個數軸在此，我們需進一步将連續性具體落實到函數中去，即讨論函數的連續性問題，今天小編就來聊一聊關于數學中最重要的幾種函數?接下來我們就一起去研究一下吧!

數學中最重要的幾種函數

函數的連續性

由實數的性質我們已經知道其具備有連續性，即連續地布滿整個數軸。在此，我們需進一步将連續性具體落實到函數中去，即讨論函數的連續性問題。

一）函數的點連續定義

若函數f(x)在點x0的某個領域内有定義，且成立lim[x→x0] f(x) = f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處連續，x0點被稱為函數f(x)的一個連續點。

顯然，所謂的函數點連續就是此點上的函數值等于函數在此點上的極限。如果這個關系僅對于函數的左（右）極限成立（即lim[x→x0-] f(x) = f(x0)（lim[x→x0 ] f(x) = f(x0)）），則稱此為左（右）連續。左右連續性在讨論閉區間的端點連續性和點的非連續特性時起着非常重要的作用。

如果函數f(x)在區間内各點連續，則稱此函數在區間X上（點）連續。注意，這裡所謂的區間上（點）連續其實僅是此區間上的各點連續性而已。若區間X含端點，則其端點的連續性将以其左或右連續性來定義。

二）函數的區間連續（一緻連續）定義

若函數f(x)在區間X上有定義，且∀ε>0,∃δ,∀x1∈X,∀x2∈X,|x1-x2|<δ(|f(x1)-f(x2)|<ε)，則稱函數f(x)在區間X上一緻連續。

顯然，一緻性連續是整個區間内函數的連續特性，而非個别點的連續性。

三）不連續點（間斷點）的類型

不連續點雖然其上函數都是非連續的，但其不連續的類型有所不同，簡單分類如下：

1）第一類間斷點

函數在間斷點上的左右極限存在，但此等式lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0 ] f(x) = f(x0)不成立。如果成立lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0 ] f(x) ≠ f(x)，則此間斷點稱為可去間斷點，即可以通過重新定義x0點上的函數f(x0)使之連續。如果lim[x→x0-] f(x) ≠ lim[x→x0 ] f(x)，則此間斷點稱為跳躍間斷點。

2）第二類間斷點

凡是函數在間斷點上的單側極限不存在的，都屬此類。如果單側極限趨于無窮，則稱為無窮間斷點。如果單側極限為“振蕩”非收斂的，則稱為振蕩間斷點。

四）連續函數的運算及其反函數和複合函數

1）四則運算

若lim[x→x0] f(x) = f(x0)和lim[x→x0] g(x) = g(x0)，即f(x)和g(x)在x0點處連續，則

a）lim[x→x0] (a f(x) b g(x)) = a f(x0) b f(x0)

即f(x)和g(x)的線性組合在x0點處也連續。

b）lim[x→x0] (f(x)g(x0)) = f(x0)g(x0)

即f(x)g(x)在x0點處也連續。

c）lim[x→x0] (f(x)/g(x)) = f(x0)/g(x0) （g(x0)≠0）

即，如果g(x0)≠0，則f(x)/g(x)在x0點處也連續。

2）反函數

若函數f(x)在其定義域Df内嚴格單調且連續，則存在反函數f⁻¹(x)且同樣連續。

3）複合函數

若函數u=g(x)在點x0連續，設g(x0)=u0。又若函數y=f(u)在點u0連續，則複合函數y=f(g(x))在點x0處連續。

至此可以判斷，一切初等函數在其定義域内連續。

五）函數的點連續和區間一緻連續的關系

康托爾定理：

若函數f(x)在閉區間[a,b]上（點）連續，則它在此閉區間上一緻連續。

證略。

六）閉區間上連續（即一緻連續）函數的一些性質（簡單羅列）

1）有界定理

2）最值定理

3）零點定理

4）介值定理

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