大家都在喊高考數學太難了，其實和大學數學比起來，高考的題目大多數都隻能算小兒科。如果高考的數學不出得難一點，到了大學，如何解決得了高等數學的問題呢？下面是高等數學一道普通難度的題目，關于抛物線截取法線的線段最短問題。老黃感覺解這樣的題目，有點像撞大運，撞對方向就解出來了，撞錯了方向，就怎麼樣也解不出來。

在抛物線y^2=2px上哪一點的法線被抛物線所截之線段最短.

瞧這題目看起來，多簡單！但千萬不要被它“老實”的外表欺騙了，字越少，看起來越簡單的高數問題，有可能越麻煩哦。

可以利用逆向思維，找到解題的思路。這道題并不适合使用幾何法，用代數法一般都是直接利用兩點的距離公式，列出兩點距離與某個交點的橫(或縱)坐标的函數關系，利用這個函數的導數，分析它的單調性和原函數的最值(通過比較極值和端點值等的大小)，來得到這個最短距離。并确定問題的答案。

這就需要兩個交點的坐标，其中可以包含一個未知數。這可以通過求過這兩點的直線與抛物線的交點來實現。過這兩點的直線，就是抛物線在某點的法線。也就包括與這條法線互相垂直的切線的切點。這道題實質就是要求這個切點。其圖像如下：(這裡默認p>0)

而這個切點肯定是需要通過假設它的坐标來得到的。再結合對抛物線求導，得到切線斜率，就可以得到抛物線過這點的切線方程。再把上面逆向思維的過程反轉過來，變成正向的邏輯思維。

有了切線方程，就可以列切線和抛物線的交點方程，解得兩個交點的坐标，再列兩點的距離公式，得到距離關于切點的一個坐标的函數。最後求導，确定距離函數的變化趨勢，以得到最小值，就能得到切點的坐标。

分析起來一套一套的，真正解起來，又會有不少問題，老黃放在解題過程中進行插叙分析。

解：∵2yy’=2p, ∴y’=p/y. 【對抛物線方程兩邊同時求導，從而得到y的導數，如果把它化為y'=根号(p/(2x))，下面的運算反而會更麻煩】

設 抛物線上一點(a,b)，則 過這點的法線方程為：y-b=-b(x-a)/p, 代入x=y^2/(2p), 得：

y-b=-b(y^2/(2p)-a)/p，即y^2 2p^2y/b-(2p^2 2pa)=0，【方程會有不同的形式，但這是對運算最有利的形式】

(y1-y2)^2=4p^4/b^2 8p^2 4pa=2p^3/a 8p^2 8pa,

(x1-x2)^2=(y1^2-y2^2)^2/(4p^2)=p^4/a^2 4p^3/a 4p^2，【這是把兩點的距離公式給拆散了，否則式子也太複雜了】

記法線被抛物線所截線段的長的平方為D，則【距離的平方最小，距離自然也最小】

D(a)=2p^3/a 8p^2 8pa p^4/a^2 4p^3/a 4p^2=(8pa^3 12p^2a^2 6p^3a p^4)/a^2,

當D’=2p(4a^3-3p^2a-p^3)/a^3，即2p(a-p)(2a p)^2=0時【因式分解的過程也是一大難點】

解得：a=p或a=-p/2(舍去)，【a不可能和p異号，題目并沒有交代p>0，不過默認p是大于0的】

當a<p時，D’<0；當a>p時，D’>0,

a=p是D(a)唯一的極(小)值點，∴D(p)最小. 【連續函數有唯一的極值點，那麼這個極值點就是最值點】

∴抛物線在(p, ±根号2 p)的法線被抛物線所截線段最短.

如果p<0，或當p>0時，y^2=-2px，由函數的對稱性，也會有相同的結論，如下圖：

大家現在對着答案理解，自然覺得不是很難，但你可知道，在解這道題的過程中，老黃嘗試了多少次錯誤嗎？

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