tft每日頭條

 > 圖文

 > 橢圓簡單面積公式

橢圓簡單面積公式

圖文 更新时间:2025-01-16 04:56:06

阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積(命題4)。

當我們垂直地縮小一個圓時,我們得到一個橢圓。橢圓有一條長半軸和一條短半軸。

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)1

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)2

橢圓面積的公式是對圓面積的一種美麗的推廣。長半軸a、短半軸b的橢圓面積為:

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)3

首先,我們用直觀的方法推導出這個公式。但阿基米德的“方法”和嚴格的定理證明之間有明顯的區别。

之後,我們将解釋阿基米德是如何證明這個結果的。

在橢圓周圍半徑為a的圓稱為它的輔助圓。如果我們(垂直地)縮小這個圓,我們得到一個橢圓。給定橢圓上的點m,它滿足關系式:

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)4

阿基米德考慮了橢圓和輔助圓内接的一些多邊形。這些多邊形的邊數等于4的倍數,并以水平直徑的相對端點作為頂點。

圓内接的多邊形P'是正多邊形,P是内接在橢圓E上的多邊形,其頂點是從P'的頂點到E的水平軸的垂線與橢圓E的交點,我們具有以下關系

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)5

那麼兩個多邊形P和P'的面積關系是:

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)6

但是這些多邊形可以有任意多的邊,它們可以無限的趨近圓和橢圓

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)7

我們得到橢圓面積的公式:

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)8

如果我們的直覺是正确的,那麼這就是橢圓面積的公式。使用mathlet縮放,我們可以看到非常好的近似值,但多邊形永遠不會完全填充整個橢圓或圓

橢圓簡單面積公式(阿基米德用一種非常直觀的方法來計算橢圓的面積)9

這是一個很好的方法,但阿基米德需要一個邏輯嚴密的證明。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部

相关圖文资讯推荐

热门圖文资讯推荐

网友关注

Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved